Punkte in einer Ebene? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 So 08.01.2006 | | Autor: | SonyS |
| Aufgabe | | Liegen die Punkte A (2, -1, -2), B (1,2,1), C (2,3,0), D(5,0,-6) in einer Ebene? |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe diese Aufgabe als Hausaufgabe bekommen, aber ich weiss nicht wie ich sie loesen soll. Soweit ich es verstanden habe, soll ich die Koeffizientendeterminante rausfinden und dann schauen ob sie = 0 ist. Wenn ich die Determinante berechnen will, dann bekomme ich ne 3x4 Matrix, die ich aber nicht berechnen kann, weil ich nicht weiss wie das gehen soll. Ich bin wirklich fuer jeden Tipp dankbar, ich bin jetzt schon verzweifelt.
Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 So 08.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Soweit ich es
> verstanden habe, soll ich die Koeffizientendeterminante
> rausfinden und dann schauen ob sie = 0 ist. Wenn ich die
> Determinante berechnen will, dann bekomme ich ne 3x4
> Matrix, die ich aber nicht berechnen kann, weil ich nicht
> weiss wie das gehen soll.
Das glaube ich gerne, denn die Determinante ist ja nur für quadratische Matrizen definiert....
Die Berechnung einer 3x3-Determinante würde Dir zeigen, ob die 3 Spalten (oder auch Zeilen) linear unabhängige Vektoren sind. Ist die Determinante = 0, dann sind die Vektoren linear abhängig und liegen damit in einer Ebene.
Um zu zeigen, dass die Punkte in einer Ebene liegen darfst Du allerdings nicht die Ortsvektoren betrachten. Vielmehr wählst Du Dir aus den gegebenen 4 Punkten einen "Aufpunkt" aus und betrachtest die Verbindungsvektoren der anderen Punkte mit diesem.
Alles klar?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 08.01.2006 | | Autor: | SonyS |
> Hallo,
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> > Soweit ich es
> > verstanden habe, soll ich die Koeffizientendeterminante
> > rausfinden und dann schauen ob sie = 0 ist. Wenn ich die
> > Determinante berechnen will, dann bekomme ich ne 3x4
> > Matrix, die ich aber nicht berechnen kann, weil ich nicht
> > weiss wie das gehen soll.
>
> Das glaube ich gerne, denn die Determinante ist ja nur für
> quadratische Matrizen definiert....
> Die Berechnung einer 3x3-Determinante würde Dir zeigen, ob
> die 3 Spalten (oder auch Zeilen) linear unabhängige
> Vektoren sind. Ist die Determinante = 0, dann sind die
> Vektoren linear abhängig und liegen damit in einer Ebene.
> Um zu zeigen, dass die Punkte in einer Ebene liegen darfst
> Du allerdings nicht die Ortsvektoren betrachten. Vielmehr
> wählst Du Dir aus den gegebenen 4 Punkten einen "Aufpunkt"
> aus und betrachtest die Verbindungsvektoren der anderen
> Punkte mit diesem.
>
> Alles klar?
>
> Gruß
>
> piet
Nicht ganz...:( Erstmal wie soll ich 3x3 Matrize bilden, wenn ich 4 Punkte mit 3 Koordinaten habe?:O Und noch eine Frage?
Vielmehr
> wählst Du Dir aus den gegebenen 4 Punkten einen "Aufpunkt"
> aus und betrachtest die Verbindungsvektoren der anderen
> Punkte mit diesem.
Kannst du mir bitte sagen wie das geht? Oder eventuell mir eine Seite im Internet schicken, wo das erklaert ist. Viellen Dank fuer deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 So 08.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
wählen wir doch als unseren "Aufhängepunkt" einfach mal A (man kann aber genausogut jeden anderen nehmen).
Den Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{AB}[/mm] kriegt man dann ja als:
[mm]\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \vektor{1\\2\\1} - \vektor{2\\-1\\-2} = \vektor{-1\\3\\3} [/mm]
Genauso kann man dann ja auch noch die beiden Vektoren [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] bestimmen. Unsere vier Punkte liegen aber doch genau dann in einer Ebene, wenn das auch die drei soeben berechneten Verbindungsvektoren tun (genauer: wenn diese linear abhängig sind). Wir haben jetzt also nur noch 3 Vektoren mit 3 Koordinaten, und da sollte das mit der Determinante dann auch funktionieren, odr?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 08.01.2006 | | Autor: | SonyS |
Danke erstmal fuer deine Hilfe. Ich bin jetzt ein Stueck weiter gekommen.
Ich habe jetzt alles berechnet und rausgefunden, dass die Determinante = 12 ist, also linear unabhaengig.
In meinem Antwortenblatt steht aber, dass sie linear abhaengig sind, da die Koeffizientdeterminante = 0 ist. Es ist wirklich komisch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wenn ich $A$ als Aufpunkt nehme, gilt:
[mm] $\det\pmat{-1 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & -4} [/mm] =16+18-36+2=0$,
wie behauptet.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Mo 09.01.2006 | | Autor: | SonyS |
Viellen Dank. Habe mich natuerlich verrechnet.:( Danke an euch beide.:):):)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mo 09.01.2006 | | Autor: | piet.t |
...ich mich gestern abend übrigens auch, deswegen wollte ich nochmal drüber schlafen ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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