Punkte in xy-Fläche < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bepaal alle punten z=x+iy in het xy-vlak die voldoen an:
z^101=1
Geef ook een paramtrizatie van de oplossing, indien mogelijk. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
auf deutsch: Bestimme alle Punkte z=x+iy in der xy-Fläche:
unter der Aufgabe:
Gib auch die Parameter von der Lösung an, wenn möglich.
Mein Ansatz sieht so aus:
z^101=1
--> z=1
a+bi=1
x+iy=1
geht das in die richtige Richtung? Vielleicht kann mich jemand berichtigen, das wäre klasse
Vielen Dank an alle Helfer
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Hallo Alaizabel!
Verwende besser die  Moivre-Formel .
Gruß vom
Roadrunner
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danke :)
aber ich weiß nicht wie ich phi bestimmen soll...
klar tan(phi)=y/x aber ich habe ja weder x noch y. und r fählt mir auch :(
ich käme mit moivre auf:
z^101=r^101*(cos(101*phi)+isin(101*phi))
ist der weg richtig? aber wie komme ich auf x,y,r, phi?
vielen dank :)
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Hallo Alaizabel!
Es gilt:
$$1 \ = \ 1+0*i$$
Damit gilt auch:
$$r \ = \ 1$$
sowie
[mm] $$\varphi [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
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also
[mm] z^101=1^101*(\cos [/mm] 0+ [mm] \isin [/mm] 0)
=1
ist das richtig?
vielen lieben dank :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
tschuldigung das mit dem formeleditor bekomm ich nicht hin, das was dort verwirrt steht soll einfach die formel von moivre sein die ich voerher angegeben hab...
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Hallo Alaizabel!
Nein, das stimmt nicht. Du hast hier $z \ = \ [mm] 1^{101}$ [/mm] berechnet.
Gefragt ist jedoch nach:
[mm] $$z^{101} [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ z \ = \ [mm] \wurzel[101]{1+0*i}$$
[/mm]
Du musst also die Moivre-Formel für die Wurzel anwenden. Schließlich hat die o.g. Gleichung in [mm] $\IC$ [/mm] insgesamt 101 Lösungen.
Gruß vom
Roadrunner
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okay, ich habe dann jetzt mal die richtige formel genommen
und das ganze summiert und dann k von 0 bis 101 gehen lassen und
komme mit dem taschenrechner auf:
[mm] 101,795+5,58712*\i
[/mm]
oder hätte ich bei 1 starten müssen und nicht bei 0 um auf 101 Lösungen zukommen?
oder muss ich jeder einzelne lösung aufschreiben und gar nicht alle zusammenfassen?
danke :)
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Hallo Alaizabel,
> okay, ich habe dann jetzt mal die richtige formel genommen
> und das ganze summiert und dann k von 0 bis 101 gehen
> lassen und
> komme mit dem taschenrechner auf:
> [mm]101,795+5,58712*\i[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wieso hast du summiert?
Du sollst doch "nur" die Lösungen angeben, nix summieren:
Für [mm] $k=0,1,...,\red{100} [/mm] (!)$ sind die Lösungen von [mm] $z^{101}=1$
[/mm]
[mm] $z_k=\cos\left(\frac{2k\pi}{101}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{2k\pi}{101}\right)$
[/mm]
Ich sehe nicht, was da noch zu vereinfachen wäre.
M.E. wäre die Aufgabe damit erledigt, niemand wird verlangen, dass du alle 101 Lösungen explizit hinschreibst, diese allg. Form reicht aus.
Mache dir klar, dass alle Lösungen [mm] $z_k$ [/mm] den Betrag 1 haben [mm] $|z_k|=1$, [/mm] also auf dem Rand des Einheitskreises liegen.
Wenn du die [mm] $z_k$ [/mm] mit [mm] $z_{k+1}$ [/mm] verbindest, ergibt sich ein regelmäßiges 101-Eck
>
> oder hätte ich bei 1 starten müssen und nicht bei 0 um
> auf 101 Lösungen zukommen?
Entweder startest du bei $k=0$ und gehst bis $k=100$ oder starte bei $k=1$, dann musst du bis $k=101$ gehen
> oder muss ich jeder einzelne lösung aufschreiben
Gott bewahre, nein!
> und gar nicht alle zusammenfassen?
Mit "zusammenfassen" ist sicher nicht summieren gemeint, schreibe die allg. Lösungen [mm] $z_k$ [/mm] wie oben hin und gut ist's ...
>
> danke :)
Gruß
schachuzipus
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