Punkte mit Abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe auch eine Frage zu Abstandsberechnungen, allerdings nur zum Abstand zweier Punkte voneinander.
Ich weiß ja, dass man den folgendermaßen berechnet:
|AB| = [mm] \wurzel{(x_{2}-x_{1})^2+y_{2}-y_{1})^2+z_{2}-z_{1})^2}
[/mm]
Die Aufgabe, die ich zu berechnen versuche lautet aber: Bestimmen Sie 2 Punkte auf g, deren Abstand größer als 6 ist!
g: [mm] \vec{x}= \vektor{-2 \\ 2 \\ 1}+r *\vektor{-5 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
Ich dachte mir, dass ich einfach den Ortsvektor als Punkt P nehme und einen Punkt Q suche, der min. einen Abstand von 6 hat und dies m.H. der obenstehenden Formel. Dazu habe ich x,y und z desb Vektors in die Formel eingesetzt und links vom Gleichheitszeichen 6 geschrieben. Allerdings wurde mir sehr bald bewuss, dass ich damit nur eine Gleichung mit 3 Unbekannten habe, welche doch so unlösbar ist, oder? Außerdem, selbst wenn das lösbar wäre, muss der gefundene Punkt doch noch lange nicht auf der Geraden g liegen!
Bitte helft mir bei meinem Denkfehler, der wahrscheinlich vorliegt und sagt mir, wie es richtig geht, damit ich in meiner Abiprüfung nächste Woche keine Probleme mit solchen Sachen bekomme.
Danke, Johanna***
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Hallo Johanna!
Also, der Ansatz für P den Ortsvektor zu nehmen ist schon einmal super. Auch die Idee mit dem Einsetzen in die Formel und mit 6 gleich zu setzen ist gut. Du erhälst dann:
[mm] 6=\wurzel[2]{(q_1 + 2)^{2}+(q_2 - 2)^{2}+(q_3 - 1)^{2}}
[/mm]
mit
[mm] Q=\vektor{q_1\\q_2\\q_3}
[/mm]
Jetzt musst du nur noch die Eigenschaft benutzen, dass Q auf der Geraden liegt, also die Form
[mm] Q=\vektor{-2-5r\\2+3r\\1+2r}
[/mm]
hat. Dann hast du nämlich keine drei Unbekannten mehr, sondern nur noch die Unbekannte r in einer Gleichung. Die solltest du dann lösen können.
Viel Erfolg bei der Aufgabe und für deine Abiturprüfung!
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johanna!
Dein Weg bzw. der von Steffi erläuterte geht natürlich immer als allgemeine Lösung.
In unserem Falle geht es aber noch viel schneller!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Berechne doch einfach mal die Länge des Richtungsvektors der gegebenen Gerade.
Wenn Du nun einen entprechenden Wert für den Parameter $r$ einsetzt (letztendlich genügt nämlich $r \ = \ [mm] \pm [/mm] 1$ !), hast Du auch sehr schnell einen zweiten Punkt $Q$ mit den gewünschten Eigenschaften.
Grüße
Loddar
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Einen herzlichen Dank an euch beide. Das hat mir sehr weiter geholfen. Ich habe beides einmal nachgerechnet und bin auf sinnvolle Ergebnisse gekommen. Allerdings wäre ich selbst nie auf diese Möglichkeiten gekommen und habe daher versucht, die Wege nachzuvollziehen. Dabei sind mir Zweifel an meiner grundsätzlichen Vorstellung / meinem Verständnis für Vektoren gekommen. Ist es denn so, dass der Richtungsvektor quasi am Ortsvektor der Geraden "losgeht"? Wenn ich dann die Länge des Ortsvektors bestimme, die Länge von wo nach wo ist das denn dann? Die Länge ab dem Ursprung oder ab dem Ortsvektor...?
Ich habe Ich habe für die Länge des Orsvektors für r=1 die Länge 6,16 raus. Der Abstand vom Punkt P (= Ortsvektor) zu Q (= Richtungsvektor) beträgt 7,14. Wie muss ich mir das denn vorstellen? Wie ein Dreieck (Seite 1 = Länge des Ortsvektors, Seite 2 = Länge des Richtungsvektors und Seite 3 = Abstand der Punkte P und Q)? Wenn nicht, wie dann?
Über etwas "Aufklärung" wäre ich sehr dankbar 
Bis dann, Johanna***
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
> Einen herzlichen Dank an euch beide. Das hat mir sehr
> weiter geholfen. Ich habe beides einmal nachgerechnet und
> bin auf sinnvolle Ergebnisse gekommen. Allerdings wäre ich
> selbst nie auf diese Möglichkeiten gekommen und habe daher
> versucht, die Wege nachzuvollziehen. Dabei sind mir Zweifel
> an meiner grundsätzlichen Vorstellung / meinem Verständnis
> für Vektoren gekommen. Ist es denn so, dass der
> Richtungsvektor quasi am Ortsvektor der Geraden "losgeht"?
Hmmm, das alte Problem von Ortsvektoren und Vektoren. Also, ein Ortsvektor ist ein spezieller Vektor, der sich immer genau auf einen Ausgangspunkt, meistens auf den Koordinatenursprung bezieht. Ansonsten sind ja Vektoren mit gleicher Länge und gleicher Richtung (unabhängig von ihrem Ausgangspunkt) gleich.
Alle geometrischen Objekte werden durch Ortsvektoren beschreiben, die genau die Position aller Punkte der Objekte angeben, zB bei einer Geraden $g: [mm] \vec{x}=\vektor{-2\\2\\1} [/mm] + [mm] t\cdot \vektor{-5\\3\\2}$ [/mm] bezeichnet [mm] $\vec{x}$ [/mm] immer einen Ortsvektor. Man gelangt an diesen Ort aller Punkte der Geraden, indem man vom Punkt $(-2|2|1)$ -angegeben durch den Ortsvektor [mm] $\vektor{-2\\2\\1}$ [/mm] - um ein beliebiges Vielfaches des Vektors [mm] $\vektor{5\\3\\2}$ [/mm] weitergeht. Dabei bezeichnet der Vektor [mm] $\vektor{5\\3\\2}$ [/mm] nur eine Richtung und ist unabhängig vom Anfangspunkt. Tatsächlich wird durch die Addition des Richtungsvektors (bzw. eines Vielfachen) zum Stützvektor der Anfangspunkt festgelegt! Also ist deine Vorstellung so richtig - auch wenn ich es nicht mit "losgehen" beschreiben würde.
> Wenn ich dann die Länge des Ortsvektors bestimme, die Länge
> von wo nach wo ist das denn dann? Die Länge ab dem Ursprung
> oder ab dem Ortsvektor...?
Ich gehe mal davon aus, dass du nach der Länge des Richtungsvektors fragen wolltest. Die Länge des Richtungsvektors wird durch den Anfangs und Endpunkt des Vektors gegeben. Da es sich aber um einen Richtungsvektor handelt, darf man diesen überall hinverschieben, also auch so, dass er in $(0|0|0)$ beginnt und in $(5|3|2)$ endet um seine Länge zu bestimmen.
> Ich habe Ich habe für die Länge des Orsvektors für r=1 die
> Länge 6,16 raus. Der Abstand vom Punkt P (= Ortsvektor) zu
> Q (= Richtungsvektor) beträgt 7,14. Wie muss ich mir das
> denn vorstellen? Wie ein Dreieck (Seite 1 = Länge des
> Ortsvektors, Seite 2 = Länge des Richtungsvektors und Seite
> 3 = Abstand der Punkte P und Q)? Wenn nicht, wie dann?
Also, der Richtungsvektor hat die von dir angegebene Länge [mm] ($|\vec{r}|=\sqrt{38}\approx [/mm] 6,16$). Die Länge des Stützvektors ist [mm] $|\vec{p}|=3$. [/mm] Bestimmt man den Abstand von $P$ und $Q$ mit [mm] $\vec{q}=\vec{p}+\vec{r}$ [/mm] sollte wieder die Länge des Richtungsvektor herauskommen.
Gruß Max
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