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| Aufgabe | Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der komplexen Zahlenebene:
(i) {z [mm] \in [/mm] C; |Re z| [mm] \le [/mm] |Im z|},
(ii) {z [mm] \in [/mm] C; | [mm] \bruch{z - i}{z - 1} [/mm] | [mm] \le [/mm] 1},
(iii) {z [mm] \in [/mm] C; |z + ¯z| + |z - ¯z| [mm] \le [/mm] 6} |
Direkt ne Anmerkung: Bei ii) müsste im Zähler "z-i" und im Nenner "z-1" stehen, um den kompletten Bruch halt Betragsstriche drum. Irgendwie zeigt der das aber nicht so an...
So, ich noch einmal. Meine letzte Aufgabe heute. Ich hab hier leider keinen Lösungsansatz, sondern nur ne Frage dazu:
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich all diese Punktemengen zeichnen soll. Muss ich einfach Zahlen einsetzen und dann einzeichnen?
Bei i) ist ja mehr oder weniger eine allgemeine Form angegeben, wenn ich das richtig verstehe. Hieße also, dass der reelle Anteil immer kleiner oder gleich groß zu dem imaginären Teil sein muss.
Bei ii) und iii) könnte ich ja theoretisch Zahlen einsetzen, oder? Kann ich da einfach jeweils die Zahlen einsetzen, die [mm] \le [/mm] die Zahlen auf der rechten Seite der Ungleichungen sind? Oder wie muss ich da verfahren?
Und wenn ja, kann ich die dann einfach einzeichnen?
Ich hoffe, ihr könnt mir auch hier helfen.:)
Grüße,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(Brauch ich auch nicht bei der so kompetenten und schnellen Hilfe hier.^^)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 15.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ungleichungen fuer z ergeben fast immer Gebiete in der Ebene, also nicht einzelne Punkte. (die probierst du hoechstens als Probe aus.
du schraffierst also das entsprechende Gebiet.
i
mit z=x+iy steht da doch [mm] |x|\le [/mm] |y|
du musst also ne Fallunterscheidung fuer x>0,x<0 machen, ebenso fuer y dann solltest du sehen, welcher Teil der Ebene das ist, im 1. Quadranten etwa alle Punkte oberhalb und auf der WH x=y jetzt untersuch die anderen Quadranten.
ii) zuerst z=x+iy, dann Betrag von nenner und Zaehler ausrechnen, dann die ungleichung mit Nenner ( [mm] \ne [/mm] 0) multipliziern.
entsprechend in iii
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 15.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der komplexen
> Zahlenebene:
> (i) z [mm]\in[/mm] C; |Re z| [mm]\le[/mm] |Im z|,
> (ii) z [mm]\in[/mm] C; | [mm]\bruch{z - i}{z - 1}[/mm] | [mm] \le[/mm] 1,
> (iii) z [mm]\in[/mm] C; |z + ¯z| + |z - ¯z| [mm]\le[/mm] 6
> Direkt ne Anmerkung: Bei ii) müsste im Zähler "z-i" und
> im Nenner "z-1" stehen, um den kompletten Bruch halt
> Betragsstriche drum. Irgendwie zeigt der das aber nicht so
> an...
>
> So, ich noch einmal. Meine letzte Aufgabe heute. Ich hab
> hier leider keinen Lösungsansatz, sondern nur ne Frage
> dazu:
>
Hallo,
Re(z)=Im(z) gilt für alle Punkte der GZE, die auf der Winkelhalbierenden des 1. bzw.3. Quadranten liegen.
Re(z)=-Im(z) gilt für alle Punkte der GZE, die auf der Winkelhalbierenden des 2. bzw. 4. Quadranten liegen.
|Re(z)|=|Im(z)| gilt also auf beiden Winkelhalbierenden. Nun sieh dir an, für welchen Raum dazwischen auch die Ungleichung gilt.
Aus [mm] |\bruch{z - i}{z - 1} |\le [/mm] 1 folgt [mm] |z-i|\le|z-1|.
[/mm]
Was bedeuten dieses beiden Terme? Sie beschreiben den "Abstand" einer beliebigen komplexen Zahl z zur komplexen Zahl i (bzw. zu 1).
Wenn du i und 1 als Punkte in der GZE ansiehst, dann liegen alle Punkte mit gleichem Abstand zu diesen beiden auf der Mittelsenkrechte der Strecke zwischen diesen beiden Punkten.
Alle Zahlen z, die zu i einen kürzeren Abstand als zu 1 haben, liegen "links" von dieser Mittelsenkrechten.
Gruß Abakus
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich all diese
> Punktemengen zeichnen soll. Muss ich einfach Zahlen
> einsetzen und dann einzeichnen?
> Bei i) ist ja mehr oder weniger eine allgemeine Form
> angegeben, wenn ich das richtig verstehe. Hieße also, dass
> der reelle Anteil immer kleiner oder gleich groß zu dem
> imaginären Teil sein muss.
> Bei ii) und iii) könnte ich ja theoretisch Zahlen
> einsetzen, oder? Kann ich da einfach jeweils die Zahlen
> einsetzen, die [mm]\le[/mm] die Zahlen auf der rechten Seite der
> Ungleichungen sind? Oder wie muss ich da verfahren?
> Und wenn ja, kann ich die dann einfach einzeichnen?
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir auch hier helfen.:)
>
> Grüße,
> Sebastian
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> (Brauch ich auch nicht bei der so kompetenten und
> schnellen Hilfe hier.^^)
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