Punktweise&Gleichm. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie welche der folgenden Funktionenfolgen punktweise bzw. gleichmäßig konvergieren
a) [mm] f_n:[0,1[ [/mm] -> [mm] \IR: f_n(x)=x^n, n\in \IN
[/mm]
b) [mm] f_n:[1,100] [/mm] -> [mm] \R: f_n(x)=\bruch{x^2}{x+n}, n\in \IN
[/mm]
c) [mm] f_n: \IR [/mm] -> [mm] \IR: f_n=sin(x)^n, n\in \IN
[/mm]
d) [mm] f_n: [/mm] [0,1[ -> [mm] \IR: f_n(x)=ln(1+\bruch{x}{n}), n\in \IN [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen und bitte um Korrektur.
a) Falls [mm] 0\le [/mm] x<1 gilt [mm] x^n [/mm] -> 0
Also konvergiert die Folge [mm] f_n [/mm] punktweise gegen f(x)=0
Da jedes [mm] f_n [/mm] eine stetige Funktion ist und f stetig ist, konvergiert die Folge [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f.
b) Die Folge [mm] f_n [/mm] konvergiert punktweise gegen 0, weil für alle [mm] x\in[1,100]
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x+n}=0 [/mm] gilt
Für die gleichmäßige Konvergenz hab ich mir folgendes überlegt
[mm] sup_{x\in[1,100]}\bruch{x^2}{x+n}\ge\bruch{n^2}{n+n}=\bruch{n}{2}=\bruch{1}{2}n->\infty [/mm] für [mm] n\in \IN
[/mm]
die Funktion konergiert also gleichmäßig gegen [mm] \infty
[/mm]
c)Die Folge [mm] f_n [/mm] divergiert punktweise, da die sinusfunktion [mm] f(x)=sin(x)^n [/mm] divergiert
d) fAlls 0 [mm] \le [/mm] x<1 gikt [mm] ln(1+\bruch{x}{n}) [/mm] -> 0
Also konvergiert die Folge gleichmäßig gegen die Funktion f(x)=0
Lg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Stoecki |
die gleichmäßige konvergenz von b ist falsch. wenn die punktion punktweise gegen 0 konvergiert, dann muss sie, wenn sie gleichmäßig konvergent ist gegen den selben wert konvergieren. dein fehler liegt beim ersten größer gleich. setze dort nicht n für x ein. da muss was anderes hin und du kannst da, wenn du den richtigen wert nimmst, auch gleich schreiben
der rest sieht soweit gut aus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie welche der folgenden Funktionenfolgen
> punktweise bzw. gleichmäßig konvergieren
>
> a) [mm]f_n:[0,1[[/mm] -> [mm]\IR: f_n(x)=x^n, n\in \IN[/mm]
>
> b) [mm]f_n:[1,100][/mm] -> [mm]\R: f_n(x)=\bruch{x^2}{x+n}, n\in \IN[/mm]
>
> c) [mm]f_n: \IR[/mm] -> [mm]\IR: f_n=sin(x)^n, n\in \IN[/mm]
>
> d) [mm]f_n:[/mm] [0,1[ -> [mm]\IR: f_n(x)=ln(1+\bruch{x}{n}), n\in \IN[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe versucht, die Aufgabe zu lösen und bitte um
> Korrektur.
Ich bin anderer Meinung als Stoecki !
>
> a) Falls [mm]0\le[/mm] x<1 gilt [mm]x^n[/mm] -> 0
>
> Also konvergiert die Folge [mm]f_n[/mm] punktweise gegen f(x)=0
>
> Da jedes [mm]f_n[/mm] eine stetige Funktion ist und f stetig ist,
> konvergiert die Folge [mm]f_n[/mm] gleichmäßig gegen f.
Das stimmt nicht.
Für 0 [mm] \le [/mm] x <1 ist
[mm] |f_n(x)-f(x)|=x^n.
[/mm]
Damit konv. [mm] (f_n) [/mm] punktweise gegeb f(x)=0 auf [0,1)
Wäre die Konvergenz gleichmäßig, so müßte es zu [mm] \varepsilon [/mm] =1/3 ein N geben mit:
[mm] |f_n(x)-f(x)|=x^n<1/3 [/mm] für alle n>N und alle x [mm] \in [/mm] [0,1)
Ist n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x_n:=\bruch{1}{\wurzel[n]{2}}, [/mm] so ist
[mm] |f_n(x_n)-f(x_n)|=1/2>1/3,
[/mm]
Widerspruch.
>
>
>
> b) Die Folge [mm]f_n[/mm] konvergiert punktweise gegen 0, weil für
> alle [mm]x\in[1,100][/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x+n}=0[/mm] gilt
>
> Für die gleichmäßige Konvergenz hab ich mir folgendes
> überlegt
>
> [mm]sup_{x\in[1,100]}\bruch{x^2}{x+n}\ge\bruch{n^2}{n+n}=\bruch{n}{2}=\bruch{1}{2}n->\infty[/mm]
> für [mm]n\in \IN[/mm]
Das bringt Dir doch gar nichts ! Du brauchst eine Abschätzung [mm] \le [/mm] :
Für x [mm] \in [/mm] [1,100] ist
0 [mm] \le \bruch{x^2}{x+n} \le \bruch{x^2}{n} \le \bruch{100^n}{n}
[/mm]
>
> die Funktion konergiert also gleichmäßig gegen [mm]\infty[/mm]
>
>
>
> c)Die Folge [mm]f_n[/mm] divergiert punktweise, da die sinusfunktion
> [mm]f(x)=sin(x)^n[/mm] divergiert
Punktweise divergent ist nicht richtig.
Für jedes x mit |sin(x)|<1 konvergiert [mm] (sin(x)^n) [/mm] gegen 0.
Klar, es gibt Punkte x mit [mm] (sin(x)^n) [/mm] ist divergent. Nenn mal ein paar.
>
>
>
> d) fAlls 0 [mm]\le[/mm] x<1 gikt [mm]ln(1+\bruch{x}{n})[/mm] -> 0
>
> Also konvergiert die Folge gleichmäßig gegen die Funktion
> f(x)=0
Du hast nur die punktweise Konvergenz gezeigt ! Zeige noch, dass [mm] (f_n) [/mm] glm. konvergiert.
FRED
>
> Lg Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke zunaechst für die Korrektur. Habe jedoch noch einpaar Fragen:
> Das bringt Dir doch gar nichts ! Du brauchst eine
> Abschätzung [mm]\le[/mm] :
>
> Für x [mm]\in[/mm] [1,100] ist
>
> 0 [mm]\le \bruch{x^2}{x+n} \le \bruch{x^2}{n} \le \bruch{100^n}{n}[/mm]
>
Das heisst, die Funktionsfolge ist gleichmaessig konvergent, da
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |f_n(x)-f(x)|\le \varepsilon
[/mm]
d.h. [mm] n_0 [/mm] haengt nicht von x ab. Hab ich das richtig verstanden?
>
> > c)Die Folge [mm]f_n[/mm] divergiert punktweise, da die sinusfunktion
> > [mm]f(x)=sin(x)^n[/mm] divergiert
>
> Punktweise divergent ist nicht richtig.
>
> Für jedes x mit |sin(x)|<1 konvergiert [mm](sin(x)^n)[/mm] gegen
> 0.
>
> Klar, es gibt Punkte x mit [mm](sin(x)^n)[/mm] ist divergent. Nenn
> mal ein paar.
>
z.B. für [mm] x=\bruch{-\pi}{2} [/mm] oder [mm] x=\bruch{3\pi}{2}
[/mm]
d.h. es liegt keine gleichmaessige Konvergenz vor.
> > d) fAlls 0 [mm]\le[/mm] x<1 gikt [mm]ln(1+\bruch{x}{n})[/mm] -> 0
> >
> > Also konvergiert die Folge gleichmäßig gegen die Funktion
> > f(x)=0
>
> Du hast nur die punktweise Konvergenz gezeigt ! Zeige noch,
> dass [mm](f_n)[/mm] glm. konvergiert.
>
Muss ich hierfür wieder abschaetzen?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke zunaechst für die Korrektur. Habe jedoch noch
> einpaar Fragen:
>
>
>
>
>
> > Das bringt Dir doch gar nichts ! Du brauchst eine
> > Abschätzung [mm]\le[/mm] :
> >
> > Für x [mm]\in[/mm] [1,100] ist
> >
> > 0 [mm]\le \bruch{x^2}{x+n} \le \bruch{x^2}{n} \le \bruch{100^n}{n}[/mm]
>
> >
>
>
> Das heisst, die Funktionsfolge ist gleichmaessig
> konvergent, da
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists n_0 \in \IN \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0: |f_n(x)-f(x)|\le \varepsilon[/mm]
>
> d.h. [mm]n_0[/mm] haengt nicht von x ab. Hab ich das richtig
> verstanden?
Ja
>
>
>
>
>
> >
> > > c)Die Folge [mm]f_n[/mm] divergiert punktweise, da die sinusfunktion
> > > [mm]f(x)=sin(x)^n[/mm] divergiert
> >
> > Punktweise divergent ist nicht richtig.
> >
> > Für jedes x mit |sin(x)|<1 konvergiert [mm](sin(x)^n)[/mm] gegen
> > 0.
> >
> > Klar, es gibt Punkte x mit [mm](sin(x)^n)[/mm] ist divergent. Nenn
> > mal ein paar.
> >
>
>
> z.B. für [mm]x=\bruch{-\pi}{2}[/mm] oder [mm]x=\bruch{3\pi}{2}[/mm]
>
> d.h. es liegt keine gleichmaessige Konvergenz vor.
Ja, noch nicht einmal punktweise Konvergenz liegt vor.
>
>
>
> > > d) fAlls 0 [mm]\le[/mm] x<1 gikt [mm]ln(1+\bruch{x}{n})[/mm] -> 0
> > >
> > > Also konvergiert die Folge gleichmäßig gegen die Funktion
> > > f(x)=0
> >
> > Du hast nur die punktweise Konvergenz gezeigt ! Zeige noch,
> > dass [mm](f_n)[/mm] glm. konvergiert.
> >
>
>
> Muss ich hierfür wieder abschaetzen?
Ja
FRED
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> Lg
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