Punktweise/Glm. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 21.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | | Es sei [mm] (f_{n}) \subseteq C^{\infty} [/mm] [-1,1] , [mm] f_{n}(x):=n^{-1}exp(-n^{3}x^{2}). [/mm] Gilt [mm] f^{'}n \to [/mm] 0 punktweise bzw. gleichmäßig? |
Also ich habe als erstes die Ableitung gebildet:
[mm] f^{'}(x)=-2xn^{2}*e^{-n^{3}x^{2}}
[/mm]
Jetzt um diese Funktion auf gleichmäßige bzw. punktweise Konvergenz zu untersuchen habe ich versucht die Grenzfunktion zu bilden. Allerdings komme ich nicht weiter ich wäre dankbar wenn mir jemand bei der Lösung dieser Aufagbe helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm](f_{n}) \subseteq C^{\infty}[/mm] [-1,1] ,
> [mm]f_{n}(x):=n^{-1}exp(-n^{3}x^{2}).[/mm] Gilt [mm]f^{'}n \to[/mm] 0
> punktweise bzw. gleichmäßig?
> Also ich habe als erstes die Ableitung gebildet:
>
> [mm]f^{'}(x)=-2xn^{2}*e^{-n^{3}x^{2}}[/mm]
>
> Jetzt um diese Funktion auf gleichmäßige bzw. punktweise
> Konvergenz zu untersuchen habe ich versucht die
> Grenzfunktion zu bilden.
Hallo,
die potentielle Grenzfunktion ist oben ja schon angegeben, f(x)=0.
Die punktweise Konvrgenz dürfte recht einfach zu zeigen sein:
[mm] f^{'}(x)=\bruch{-2xn^{2}}{e^{n^{3}x^{2}}}
[/mm]
Für x=0 ist es sowieso klar, und für [mm] x\not=0 [/mm] kannst Du den Grenzwert mit l'Hospital bestimmen.
Ich vermute einmal, daß die gleichmäßige Stetigkeit links der Null scheitern wird, weil man da Peaks hat, die für wachsendes n immer größer werden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
Hallo Angela,
danke für deinen Tip mit der punktweisen Konvergenz. Die hatte mir noch gefehlt. Bei der gleichmäßigen Konvergenz liegst du richtig. Ich habe gezeigt, dass [mm] \parallel f_{n}^{'} \parallel \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty. [/mm] Das dürfte doch reichen um zu zeigen, das [mm] f_{n}^{'} [/mm] nicht glm. kovergent ist oder?
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