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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mo 20.02.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Sei [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge messbarer Funktionen [mm] f_{n} [/mm] : [0,1] --> [mm] \IR
[/mm]
Ist es möglich, dass:
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] --> 0, aber [mm] f_{n} [/mm] -->1 punktweise in [0,1] ? |
Hallo,
ich denke, dass es nicht möglich ist. Vielleicht kann man hier Satz von Lebesgue,ich finde aber keine Majorante.
Könnte mir jemand bitte helfen?
Vielen Dank.
Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
also wenn
[mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x)dx}\: \rightarrow\: 0\:\: (n\to\infty),
[/mm]
so muss doch zu jedem [mm] \delta [/mm] >0 ein [mm] n_0=n_0(\delta) [/mm] existieren, so dass fuer alle [mm] n>n_0
[/mm]
[mm] \{x\in [0,1]\: |\: f_n(x)>\delta\}
[/mm]
eine Menge vom Maß höchstens [mm] \delta [/mm] ist, nicht wahr ?
Kann man dann nicht zeigen, dass der Schnitt der Komplemente dieser Mengen nicht-leer ist ?
Ein x in diesem Schnitt der Komplemente waere doch ein Gegenbeispiel zur punktweisen Konvergenz gegen 1, oder ?
Vielleicht spaeter mehr dazu !
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 21.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Mathias,
vielen vielen Dank für Deine Antwort.
Leider komme ich nicht weiter. Könntest Du mir bitte ein bisschen ausführlicher schreiben wie es gehen würde?
Vielen vielen Dank für Deine Bemühungen!
Viele Grüße
Elena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:15 Mi 22.02.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo nochmal,
scheint ja jetzt alles geklaert, und genau anders, als ich dachte.
Ich hatte wohl irgendwie unterbewusst mich darauf festgelegt, dass die [mm] f_n [/mm] von der Form
[mm] f_n\colon [0,1]\to\IR_{\geq 0}
[/mm]
sein muessen.
Frage: Wenn man nur solche zulaesst, gilt dann das, was ich in meiner Antwort geschrieben hatte ?
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 21.02.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei [mm](f_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge messbarer Funktionen
> [mm]f_{n}[/mm] : [0,1] --> [mm]\IR[/mm]
> Ist es möglich, dass:
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] --> 0, aber [mm]f_{n}[/mm] -->1
> punktweise in [0,1] ?
> Hallo,
>
> ich denke, dass es nicht möglich ist. Vielleicht kann man
> hier Satz von Lebesgue,ich finde aber keine Majorante.
> Könnte mir jemand bitte helfen?
Ich wuerde vorschlagen, eine solche Folge explizit zu konstruieren 
(Sei [mm] $\mu$ [/mm] von nun an das Lebesguemass.)
Sei $B [mm] \subseteq [/mm] [0, 1]$ eine messbare Menge mit $0 < [mm] \mu(B) [/mm] < 1$. Dann kannst du eine Funktion [mm] $f_B [/mm] : [0, 1] [mm] \to \IR$ [/mm] konstruieren mit [mm] $\int f_B \; d\mu [/mm] = 0$ und [mm] $f_B(x) [/mm] = 1$ fuer alle $x [mm] \not\in [/mm] B$. (Hinweis: waehle [mm] $f_B$ [/mm] auf $B$ konstant mit einem passenden negativen Wert.)
Wenn du zu jedem solchen $B$ ein solches [mm] $f_B$ [/mm] konstruieren kannst, dann geh wie folgt vor:
Konstruiere eine Familie von messbaren Teilmengen [mm] $B_i \subseteq [/mm] [0, 1]$ (Intervalle bieten sich an), die paarweise disjunkt sind (also [mm] $B_i \cap B_j [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$) und so dass [mm] $\mu(B_i) [/mm] > 0$ ist.
Setze dann [mm] $f_i [/mm] := [mm] f_{B_i}$. [/mm] Dann ist [mm] $\int f_i \; d\mu [/mm] = 0$ fuer alle $i$, also insbesondere [mm] $\lim_{n\to\infty} \int f_n \; d\mu [/mm] = 0$.
Ist $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$, so gibt es hoechstens ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit $x [mm] \in B_{n_0}$. [/mm] Dann gilt jedoch fuer alle $n > [mm] n_0$: [/mm] $x [mm] \not\in B_{n_0}$, [/mm] also insbesondere [mm] $f_n(x) [/mm] = 1$. Damit konvergiert die Funktionenfolge [mm] $f_i$ [/mm] punktweise gegen 1.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Di 21.02.2006 | | Autor: | felixf |
> > Sei [mm](f_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge messbarer Funktionen
> > [mm]f_{n}[/mm] : [0,1] --> [mm]\IR[/mm]
> > Ist es möglich, dass:
> > [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] --> 0, aber [mm]f_{n}[/mm] -->1
> > punktweise in [0,1] ?
Was ich noch hinzufuegen wollte: Man sieht hier, dass die Folge [mm] $f_n$ [/mm] auf keinen Fall beschraenkt sein kann, also es gibt kein $B > 0$ mit [mm] $|f_n(x)| [/mm] < B$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$, $n [mm] \in \IN$: [/mm] Ansonsten wuerde [mm] $\int_0^1 f_n \; d\mu$ [/mm] gegen [mm] $\int_0^1 [/mm] 1 [mm] \; d\mu [/mm] = 1$ konvergieren (Satz von der beschraenkten Konvergenz, oder wie der nochmal hiess ).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 21.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felixf,
danke für Deine Hilfe. Ich probiere es.
Gruß Elena
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