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Hallo zusammen, ich kämpfe gerade mit dem Pushout Diagramm und dem amalgamierten Produkt. Ich beschäftige mich mit folgendem kommutativen Diagramm von Gruppen und Homomorphismen:
[mm] G_{12} \cdots i_{2} \to \cdots G_{1}
[/mm]
[mm] i_{1} \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots j_{1}
[/mm]
[mm] \perp \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \perp
[/mm]
[mm] G_{2} \cdots j_{2} \to \cdots [/mm] G
[mm] \perp [/mm] sollte einen Pfeil nach unten darstellen, sorry
Grundsätzlich verstehe ich die Definition. Es fehlt mir jedoch an der Anschaulichkeit - an einem Beispiel. In unserem Skript gibt es eines, welches ich aber nicht verstehe: Weshalb entspricht das amalgamierte Produkt dem freien Produkt, wenn [mm] G_{12} [/mm] = 1 ist? Könnte mir da jemand weiterhelfen?
Schon mal danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 11.02.2008 | | Autor: | felixf |
Sali Schokonascher
> Hallo zusammen, ich kämpfe gerade mit dem Pushout Diagramm
> und dem amalgamierten Produkt. Ich beschäftige mich mit
> folgendem kommutativen Diagramm von Gruppen und
> Homomorphismen:
> [mm] $\begin{array}{ccc} G_{12} & \overset{i_2}{\longrightarrow} & G_1 \\ i_1 \downarrow & & \downarrow j_1 \\ G_2 & \underset{j_2}{\longrightarrow} & G \end{array}$
[/mm]
> [mm]\perp[/mm] sollte einen Pfeil nach unten darstellen, sorry
Diagramme zu setzen ist hier nicht ganz so einfach... Ich hab's versucht ein wenig zu verschoenern, XYpic steht hier leider nicht zur Verfuegung, damit ging das einfacher und schoener :)
> Grundsätzlich verstehe ich die Definition. Es fehlt mir
> jedoch an der Anschaulichkeit - an einem Beispiel. In
> unserem Skript gibt es eines, welches ich aber nicht
> verstehe: Weshalb entspricht das amalgamierte Produkt dem
> freien Produkt, wenn [mm]G_{12}[/mm] = 1 ist? Könnte mir da jemand
> weiterhelfen?
Kennst du die Charakterisierung/Definition vom freien Produkt ueber die universelle Eigenschaft? Also $G$ heisst genau dann das freie Produkt von [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$, [/mm] wenn es zu jeder Gruppe $H$ und zu je zwei Morphismen [mm] $h_i [/mm] : [mm] G_i \to [/mm] H$ genau einen Morphismus $G [mm] \to [/mm] H$ gibt so dass alles kommutiert?
Jetzt musst du dir zwei Sachen ueberlegen:
1) Wenn du zu diesem Diagramm die Gruppe [mm] $G_{12} [/mm] = 1$ mit den (eindeutig bestimmten) Morphismen [mm] $G_{12} \to G_i$ [/mm] hinzufuegst, aendert sich nichts an der Kommutativitaet.
2) Wenn du das Diagramm vom almagamierten Produkt hast und dort [mm] $G_{12} [/mm] = 1$ hast, dann kannst du [mm] $G_{12}$ [/mm] auch weglassen, ohne dass sich irgendwas aendert, da alle Bedingungen die [mm] $G_{12}$ [/mm] betreffen sowieso klar sind (da ein Morphismus zwischen Gruppen immer das Neutralelement auf das Neutralelement abbilden muss).
Hoffentlich hilft dir das ein wenig weiter :)
LG Felix
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ah, jetzt sieht bei mir der Horizont wieder etwas klarer aus! Deine Erklärung ist sehr gut, ich glaube, ich hab's verstanden.
Vielen Dank
wow, schöne Darstellund! ich habe das nicht hingekriegt! Merci!
Lieber Gruss
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Könnte mir einer von Euch den Begriff "amalgamierten Produkt" definieren. Besten Dank.
LG
Alex
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Hallo,
ich hab's gerade ![[]](/images/popup.gif) hier gefunden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Di 12.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hallo zusammen,
besten Dank für die Information.
Ich kenne den Push-out bzw. Pull-back (Fasersumme und Faserprodukt) im Zusammenhang mit Moduln oder allg. für Kategorien aus der Darstellungstheorie, doch das "Amalgamiertes Produkt" war mir bisher neu.
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Di 12.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> besten Dank für die Information.
> Ich kenne den Push-out bzw. Pull-back (Fasersumme und
> Faserprodukt) im Zusammenhang mit Moduln oder allg. für
> Kategorien aus der Darstellungstheorie, doch das
> "Amalgamiertes Produkt" war mir bisher neu.
Ich weiss auch nicht so genau wofuer man es braucht, mir faellt eigentlich nur eine Anwendung ein. Davon abgesehen habe ich es noch nie in freier Wildbahn gesehen. Die Anwendung ist allerdings relativ interessant:
Man kann surjektive Gruppenhomomorphismen [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H$ auch dadurch charakterisieren, dass sie folgende Eigenschaft erfuellen:
sind [mm] $\psi_1, \psi_2 [/mm] : H [mm] \to [/mm] H'$ zwei verschiedene Gruppenhomomorphismen, so sind auch [mm] $\psi_1 \circ \varphi$ [/mm] und [mm] $\psi_2 \circ \varphi$ [/mm] verschieden.
Wenn [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv ist, ist diese Eigenschaft erfuellt. Das Problem ist die Rueckrichtung. Am Besten zeigt man diese per Kontraposition, also man nimmt an, dass [mm] $\varphi$ [/mm] nicht surjektiv ist.
Wenn [mm] $\varphi(G)$ [/mm] zufaellig ein Normalteiler in $H$ ist, dann kann man $H' = [mm] H/\varphi(G)$ [/mm] betrachten und einmal die Projektion $H [mm] \to \varphi(G)$ [/mm] und dann die Abbildung, die alles auf das identische Element schmeisst (also die triviale Abbildung). Die Verkettung mit [mm] $\varphi$ [/mm] ist beidesmal die triviale Abbildung waehrend die Projektion nicht trivial ist.
Im Allgemeinen ist jedoch [mm] $\varphi(G)$ [/mm] kein Normalteiler in $H$. Dann waehlt man $H'$ als das amalgamierte Produkt von $H$ mit sich selbst ueber [mm] $\varphi(G)$, [/mm] und die [mm] $\psi_i$ [/mm] sind die kanonischen Abbildungen $H [mm] \to [/mm] H'$. Dann hat man [mm] $\psi_1 \circ \varphi [/mm] = [mm] \psi_2 \circ \varphi$ [/mm] da die [mm] $\psi_i$ [/mm] auf [mm] $\varphi(G)$ [/mm] uebereinstimmen, jedoch hat man [mm] $\psi_1 [/mm] = [mm] \psi_2$ [/mm] nur dann, wenn [mm] $\varphi(G) [/mm] = H$ ist (das muss man sich noch ueberlegen; mit der Konstruktion aus dem Wikipedia-Artikel geht es z.B. relativ einfach).
LG Felix
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> > doch das
> > "Amalgamiertes Produkt" war mir bisher neu.
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> Ich weiss auch nicht so genau wofuer man es braucht, mir
> faellt eigentlich nur eine Anwendung ein.
Hallo,
ich weiß, daß es eine völlig unqualifizierte Bemerkung ist, aber ich kann sie nicht unterdrücken:
ich finde den Begriff "amalgamiertes Produkt" echt bescheuert, und ich muß sofort an Zahnarzt denken.
Gruß v. Angela
P.S.: Danke für Deine Ausführungen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 12.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela
> ich weiß, daß es eine völlig unqualifizierte Bemerkung ist,
> aber ich kann sie nicht unterdrücken:
>
> ich finde den Begriff "amalgamiertes Produkt" echt
> bescheuert, und ich muß sofort an Zahnarzt denken.
Da bist du nicht die einzige :D
LG Felix
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Hi, also bei uns wurde definiert was ein Pushout-Diagramm ist (vgl. die Darstllung von Felix)
Der Pushout G wird als [mm] G=G_{1} \*_{G_{12}} G_{2}
[/mm]
[mm] \*_{G_{12}} [/mm] heisst das amalgamierte Produkt
Aber ob dies so verständlich ist... musst du selber entscheiden
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