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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 So 07.09.2008 | | Autor: | blumee |
Guten Mittag,
A(5|6|1)
B(2|6|1)
C(0|2|1)
D(3|2|1)
S(2|4|5)
Höhenfußpunkt H der Pyramide (2|4|1)
Ist das richtig? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 So 07.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das sieht gut aus.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 07.09.2008 | | Autor: | blumee |
Schade. Ich komme nämlich immer auf
(2,5|4|1)
Muss ich nicht den Mittelpunkt der Diagonale im Parallelogramm berechnen?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 07.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Sorry, dein H ist der Mittelpunkt der Seite, der Höhenfusspunkt ist der Punkt unter der Spitze
Also [mm] \vec{h}=\overrightarow{OH}=\vektor{2,5\\4\\1} [/mm] ist der Mittelpunkt der Grundfläche.
Um den Höhenfusspunkt zu ermitteln, gehe mal wie folgt vor:
Stelle die Grundebene in Parameterform auf, also [mm] E:\vec{a}+\lambda*\overrigtarrow{AB}+\mu*\overrightarrow{AC}
[/mm]
Daraus bestimme dann den Nomalenvektor der Ebene mit dem Kreuz- oder Vektorprodukt(click it) [mm] \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} [/mm]
Jetzt nimm die Hilfsgerade [mm] g:\vec{x}=\vec{S}+\iota*\vec{n}, [/mm] die senkrecht auf der Grundebene steht, und durch die Spitze S geht.
Der Schnittpunkt dieser Gerade g und der Grundebene ist dann dein Höhenfusspunkt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 07.09.2008 | | Autor: | blumee |
Aber bei H muss ja ein rechter Winkel sein und der kommt mit meinem H nicht raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 So 07.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir dazu mal die korrgierte Antwort von mir an.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 07.09.2008 | | Autor: | blumee |
geht das auch ohne Ebenen, weil das Thema hatten wir noch gar nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 So 07.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das geht auch, du suchst ja einen Vektor [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}, [/mm] der senkrecht zu den Diagonalenvektoren [mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-5\\-4\\0} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BD}=\vektor{1\\-4\\0} [/mm] steht, den du als Hilfsvektor für die Gerade g brauchst.
Also muss das Skaraprodukt von [mm] \vec{n} [/mm] und den beiden Vektoren jeweils Null ergeben.
Somit ergeben sich folgende Gleichungen.
[mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vektor{-5\\-4\\0}=0
[/mm]
[mm] \gdw -5n_{1}-4n_{2}=0
[/mm]
Und [mm] \vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}}*\vektor{1\\-4\\0}=0
[/mm]
[mm] \gdw n_{1}-4n_{2}=0
[/mm]
Die Dritte Koordinate ist hier also, da sie nicht meht vorkommt irrelevant, setzen wir sie also mal auf 1.
Also ergibt sich folgendes LGS, das du lösen musst
[mm] \vmat{-5n_{1}-4n_{2}=0\\n_{1}-4n_{2}=0}
[/mm]
Subtrahieren der Gleichungen ergibt:
[mm] \gdw\vmat{-5n_{1}-4n_{2}=0\\-6n_{1}=p}
[/mm]
Also [mm] n_{1}=0, n_{2}=0 [/mm] und [mm] n_{3}=1
[/mm]
Somit ergibt sich der Hilfsvektor [mm] \vec{n}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Alernativ könntest du diesen Vektor (oder einen parallelen dazu, es kommt hier nur auf die Richtung dieses Vektors an) mit den Kreuzprodukt ermitteln.
Und damit die Hilfsgerade [mm] g:\vec{x}=\vektor{2\\4\\5}+\iota*\vektor{0\\0\\1}.
[/mm]
Davon musst du das [mm] \iota [/mm] jetzt so bestimmen, dass die dritte Koordinate die 1 hat, da alle gegebenen Punkte diesen Wert als dritte Koordinate haben.
Und dabei bleibt dann der Punkt [mm] F=\vektor{2\\4\\1} [/mm] übrig.
Marius
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> Guten Mittag,
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>A(5|6|1)
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>B(2|6|1)
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>C(0|2|1)
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>D(3|2|1)
>
>S(2|4|5)
>
>Höhenfußpunkt H der Pyramide (2|4|1)
Zwar ist es sicher wichtiger, das allgemeine Vorgehen zu kennen, aber in diesem speziellen Fall kann der Höhenfusspunkt ohne jede Rechnung bestimmt werden. Denn die Grundfläche $ABCD$ liegt in der Ebene [mm] $z=\red{1}$ [/mm] (parallel zur $xy$-Ebene) und daher hat der Höhenfusspunkt als $z$-Koordinate ebenfalls [mm] $z=\red{1}$ [/mm] und seine $x$- und $y$-Koordinate sind die $x$- bzw. $y$-Koordinate der Spitze $S$, also [mm] $x=\blue{2}$ [/mm] und [mm] $y=\green{4}$.
[/mm]
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