Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 08.01.2009 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | | Durch A(2,5/-2/0), B(2,5/2/0), C(-2/2/0), D(-2/-2/0) und S(0/0/12) ist eine schiefe Pyramide mit rechteckiger Grundfläche ABCD und Spitze S festgelegt (siehe Abbildung 1). Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss dieser Pyramide. |
a) Zeigen Sie, dass der Punkt (F-1,5/1,5/3) auf der Pyramidenkante [mm] \overline{CS} [/mm] liegt.
wie gehe ich da genau vor? erst die ebengleichung in parameterform aufstellen und dann den normalenvektor ermitteln? aber wenn ich die aufstelle erhalte ich nur einen Richtungsvektor:
E: x = [mm] \overrightarrow{C} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{CS}
[/mm]
= (-2/2/0) + r * (2/-2/12)
stimmt das zunächst mal? muss ja dann den Punkt F später in die Ebengleichung einsetzen um zu prüfen ob der auf der Kante CS liegt oder ?
Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Rambo,
erstmal hast du einen Tippfehler, der mich zu Beginn sehr verwundert hat. Der Punkt F soll doch bestimmt die Form haben [mm] \\(-1,5|1,5|3)\ [/mm] und nicht [mm] \\(F-1,5|1,5|3)\
[/mm]
Also über die Ebenengleichung brauchst du nicht gehen. Und die von dir aufgestellte Gleichung ist auch nicht die Ebenengleichung sondern die Geradengleichung!
Wie du schon gesagt hast, kann man die Geradengleichung einfach ermittel durch [mm] \\g: x=\overrightarrow{OC}+r*\overrightarrow{CS}
[/mm]
Aus dieser Formel geht bei ein wenig Überlegung hervor, dass wenn du den Punkt F einsetzt und das r ermittelst, F genau dann auf [mm] \overrightarrow{CS} [/mm] liegt, wenn [mm] 0\le\\r\le1 [/mm] (bzw. [mm] |r|\le \\1) [/mm] ist (im Zweifelsfall Skizze!).
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 08.01.2009 | | Autor: | Rambo |
ja sorry war ein tippfehler ;)
aber wie bringe ich denn F in diese gleichung ein?
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Guten Abend,
[mm] \\g: x=\overrightarrow{OC}+r\cdot{}\overrightarrow{CS} [/mm] ist eine Menge unendlich vieler Punkte und alle liegen auf einer Geraden.
Uns interessiert aber nur ein kleiner Abschnitt, nur die Strecke CS, das entspricht dem Vektor [mm] \overrightarrow{CS} [/mm] (einmal!!!) abgetragen an [mm] \overrightarrow{OC}.
[/mm]
Nun kann man untersuchen, ob F in diesem Abschnitt ist, indem du einsetzt:
[mm] \vektor{-1,5 \\ 1,5 \\ 3}=\overrightarrow{OC}+r\cdot{}\overrightarrow{CS}
[/mm]
(eigentlich könnte auch ein Widerspruch herauskommen, genau dann wenn F nicht auf der Geraden liegt, aber soviel steht ja schon in der Aufgabenstellung^^)
Dafür bekommst du ein eindeutig bestimmtes r.
Zeichne dir am bessten mal eine Skizze, damit du siehst was du da eigentlich machst, indem du die Geradengleichung aufstellst und den Punkt einsetzt.
Das r zwischen 0 und 1 sein muss, geht auf dein RIchtungsvektor zurück.
Du kannst beliebig viele verschiedene Richtungsvektoren für die selbst Gerade finden. Würdest du z.B. den Richtungsvektor [mm] \bruch{1}{10}*\overrightarrow{CS} [/mm] nehmen, dann dürfte dein r zwischen 0 und 10 liegen, und F wäre noch auf der Strecke CS.
Überdenke das einfach mal ein wenig!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 08.01.2009 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | | b)E sei eine Ebene, in der die Pyramidenkante [mm] \overline{AB} [/mm] und der Punkt F(-1,5/1,5/3) liegen. Ermitteln Sie eine Gleichung von E in Parameter- und in Koordinatenform. Zeigen SIe,dass die Ebene E die Pyramidenkante [mm] \overline{DS} [/mm] in G(-1,5/-1,5/3) schneidet. |
Anmerkung zu a:
danke! bin nur nicht direkt drauf gekommen ,aber ist nachvollziehbar.
r = 0,25, d.h. der punkt liegt auf dieser Geraden CS, denn die gleichung muss ja aufgehen, d.h wenn ich r einsetze müssen in allen drei gleichungen das gleiche r rauskommen. Mit einsetzen von r bestätigt sich dies,also liegt der Punkt drauf.kann man das so sagen ?
Mein Lösungsansatz zu b :
E : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AF}
[/mm]
= (2,5/-2/0) + r * (0/4/0) + s * (-4/3,5/3)
Das ist die Parameterform.
Nun bilde ich das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren um den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren steht, zu erhalten. FOlglich ist [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = (12/0/16) (darf man kürzen?notwendig)). Somit lautet die Koordinatenform : E : [mm] \overrightarrow{x}
[/mm]
= 12x + 0y + 16z = d/0 ?
Punkt A, B oder F einsetzen :
Punkt A einsetzen : 12 * 2,5 + 0*(-2) + 16*0 =30
stimmt das ?
Wie zeige ich dass die Ebene E die Pyramidenkante [mm] \overline{DS} [/mm] in G (-1,5/-1,5/3) schneidet ?
G = ?
VIELEN DANK!
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Also die Parameterform stimmt, aber deine Koordinatenform sieht komisch aus...
Setzt doch einfach in die Normalform ein:
[mm] 0=[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{r}]*\overrightarrow{n}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] ist Normalvektor, [mm] \overrightarrow{a} [/mm] in der Ebene (z.B. Stützvektor) und [mm] \overrightarrow{r} [/mm] das Allgemeine [mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] mit den x,y,z die du suchst.
d.h. [mm] [\vektor{2,5-x \\ -2-y \\ 0-z}*\vektor{3 \\ 0 \\ 4}=3*(2,5-x [/mm] )+0*(-2-y)+4*(0-z)=0
Jetzt musst du nur noch ausmultiplizieren und bist fertig!
Wenn du das hast, musst du G einsetzten, und auf das gleiche (du nennst es) d kommen, wie du allgemein oben gekommen bist.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 08.01.2009 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | warum ist denn meine koordinatenform komisch??
stimmt denn [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = (12 /0/16) ?
Habe folgendes heraus :
12 (2,5-x) + 0(-2-y) + 16 (0-z) = 0
G einsetzen:
30-12 * (-1,5) - 16*3 = 0
stimmt bei mir irgendwas nicht? oder nur die koordinatenform? ist es richtig das = rauskommt? |
warum ist denn meine koordinatenform komisch??
stimmt denn [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = (12 /0/16) ?
Habe folgendes heraus :
12 (2,5-x) + 0(-2-y) + 16 (0-z) = 0
G einsetzen:
30-12 * (-1,5) - 16*3 = 0
stimmt bei mir irgendwas nicht? oder nur die koordinatenform? ist es richtig das = rauskommt?
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Ja gut... ich hab das d über die Formel allgemein bestimmt, aber durch einsetzten geht das auch. Ich hab nur nicht nachvollziehen können was du gemacht hast.
Nur das [mm] \bruch{d}{0} [/mm] sah sehr komisch aus^^
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 08.01.2009 | | Autor: | Rambo |
bin gerade von selbst auf ne idee gekommen wie ich zeigen kann das der Punkt G (-1,5/-1,5/3 ) ist.
das geht doch durch gleichsetzen 2 er ebenen oder ?
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Du musst nur die Geradengleichung=Ebenengleichung setzten.
In der Parameterform hast du da einiges am Gleichungssystem zu lösen.
Mit der Normalform geht das vllt einfacher.
Wenn du eine Lösung für die Parameter erhällst und keinen Widerspruch, dann hast du gezeigt, dass sich die Gerade und die Ebene schneiden.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 08.01.2009 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | c) Die Ebene E schneidet die Pyramide in einer Schnittfläche.
Begründen Sie, dass die Schnittfläche der Ebene E mit der Pyramide ein symmetrisches Trapez ist.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Trapez. |
habe die eben und gerade dann gleich gesetzt um r,s,t herauszubekommen. danach habe ich diese parameterwerte eingesetzt um halt den Punkt herauszubekommen, und G ist es gewesen, d.h. es war kein widerspruch, sondern die ebene schneidet die pyramidenkante in g!
Zu c: wie gehe ich hier am besten ran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Do 08.01.2009 | | Autor: | chrisno |
Da gibt es verschiedene Wege. Du hast vier Eckpunkte des Trapezes, bzw. musst die noch bestimmen. Dann zeigst Du, dass zwei Kanten auf parallelen Geraden liegen. Dann zeigst Du, dass die beiden anderen Kanten die gleichen Winkel zu einer der parallelen Geraden haben.
Nun gibt es etliche Möglichkeiten, vielleicht den Rechenaufwand zu verkleinern. Symmetrieargumente nach dem Motto: Das ist doch eine Spiegelebene und daher ist es symmetrisch... oder weil die Koordinaten der Punkte so und so zusammenhängen, sind die Geraden parallel sind sehr effizient.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Rambo |
könnte mir vielleicht jemand einen ansatz nennen, wie ich zu aller erst vorgehen muss?irgendwelche vektoren berechnen ?
Danke!
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Ermittele ersteinmal die Punkte der Ecken deines Trapezes.
Eine Skizze hilft, damit du nur 4 Rechnungen machen musst, um die 4 Punkte zu erhalten.
Nun überprüfe, dass 2 gegenüberliegende Seiten deines Trapezes parallel sind, z.B. mit [mm] \overrightarrow{AB}*\overrightarrow{CD}=0.
[/mm]
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Rambo |
ist es egal ob ich [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] * [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] =0oder
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] * [mm] \overrightarrow{DC} [/mm] =0rechne ?
wenn ich dann das überprüfut habe ,was muss ich im folgenden schritt tun?
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Das dürfte egal sein, da ja der [mm] cos\alpha [/mm] alle [mm] k\pi [/mm] Null werden.
Wenn du das gezeigt hast, musst du nur noch eine Fläachinhaltsformel aus dem Tafelwerk nehmen, und den Flächeninhalt deines Trapezes ausrechnen.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
und wie bestimmte ich den flächeninhalt genau ?
die allgemeine formel lautet doch : A = 1/2 * (a+c) * h
Also : A = 1/2 * ( (0/4/0) + (0/4/0) ) * h oder?
wie bekomm ich h?
Danke!
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Wenn ich bei der Bezeichnung wie bei der Frage davor bleibe, dann gilt doch: [mm] A=\bruch{1}{2}*(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{CD}|)*h
[/mm]
Dabei musst du noch auf die Beträge achten!
Auf h kommst du, wenn du den Abstand der parallelel Seiten bestimmst.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
ehrlich gesagt blicke ich da nicht so ganz durch.
weiß nicht wie ich nun den abstand berechnen kann.
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Habt ihr denn schon berechnen, wie der Abstand von Parallelen berechnet wird?
Nimmst dir einen festen Punkt der einen Geraden und bildest mit diesem den Vektor zu einem allgemeinem Punkt der anderen (parallelen!!! wichtig, sonst gehts nicht,) Geraden. Dann machst du skalare Multiplikation um auf die Parameter zu kommen, bei dem der Vektor senkrecht auf der einen Geraden steht. Damit hast du einen Vektor, der den kürzesten Abstend zwischen den Geraden hat. Dann noch den Betrag ausrechnen und fertsch!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
also [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] * [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = h ??
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Nein...
Du kennst doch deine 4 Eckpunke von dem Trapez. Die 4 Seiten können doch auch wie Strecken auf Geraden angesehen werden. 2 der Geraden sind parallel, die beiden anderen müssen das nicht sein.
Dann musst du noch nur den Abstand der (parallelen!!!) Geraden berechnen.
Die Trapezflächenformel bezieht sich ja auf die parallelen Seiten. Dein gesuchtes h ist somit genau dieser Abstand der beiden parallelen Geraden.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
ahh...
das heißt dann also z.Bsp. : [mm] \overrightarrow{A} [/mm] * [mm] \overrightarrow{C} [/mm] = (0/0/-1) und dann den betrag berechnen ist : [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1
also ist der Abstand = 1 ?
also h = 1 ?
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Es wäre sehr hilfreich, wenn du deine Punkte angeben würdest, mit denen du rechnest...
Allgemein meinte ich, du sollst nicht die Ortevektoren miteinander multiplizieren...
Mit v: [mm] x=\overrightarrow{OA}+s*\overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] w:\overrightarrow{OC}+s*\overrightarrow{CD} [/mm] werden 2 Geraden beschrieben. Diese sollten Parallel verlaufen (sonst wäre es kein Trapez, wenn gar keine parallel wären). Und nun musst du diesen Abstand der 2 Geraden bestimmen. Das ist dein h!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
Nach meiner Rechnung würde dies folgendes ergeben :
x = (2,5/-2/0) + s * (0(-4/0)
w= (-2/2/0) + s * (0/4/0)
wenn ich dies gleichsetze erhalt ich irgendwie kein sinnvolles ergebnis und keinen wert für s. kann das sein ??
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Erstmal dürfen die beiden Parameter nicht gleich sein, nenn den einen z.B. t und den anderen s!
Gleichsetzten bringt ja gerade nichts, weil deine Geraden ja parallel sind (und das ist auch gut so), da geht schneiden schlecht. Der Abstand ist ja auch das interessante, und der ist eben immer gleich!
Ich rechne deine Vektoren jetzt nicht nach... ich hoffe die stimmen^^.
Wir nehmen uns einen allgemeinen Punkt auf der einen Geraden, der lautet überraschender Weise Q(-2+0*s|-2+4*s|0+0*s) und nehmen uns einen konkreten Punkt auf der anderen Geraden (wären die Geraden windschief, müssten wir uns von beiden Geraden allgemeine Punkte nehmen, aber da hier der Abstand immer gleich ist, brauchen wir das zum Glück nicht). Dieser Punkt kann z.B. P(2,5|-2|0) heißen. Du kannst auch beliebige Vielfachen vom Richtungsvektor noch dazuaddieren, aber dieser liegt eigentlich auf der Hand.
Nun haben wir einen Vektor [mm] \overrightarrow{PQ}=\vektor{-2-2,5 \\ -2+4s-(-2) \\ 0}. [/mm] Diesen musst du nun mit einen der beiden Richtungsvektoren skalar multiplizieren und Null setzten (es ist egal welcher Richtungsvektor, da ja beide gleichgerichtet bzw ganau entgegengerichtet sein müssen, weil ja eben die Geraden parallel sind). Wenn wir uns jetzt einmal praktisch überlegen, was wir da gemacht haben, dann siehst du, dass wir uns einen Vektor gebastelt haben, der von der einen Geraden zur anderen geht, wir wissen wo er startet, aber noch nicht wo er endet. Durch das skalare multiplizieren und Null setzten, steht unser Vektor nun senkrecht zu beiden Geraden, und hat daher auch einen festen Endpunkt.
Wenn du nun den Betrag dieses Vektors bildest, dann hast du den kürzesten Abstand (der ja immer mit Abstand allgemein gemeint ist) zwischen deinen Geraden und somit dein h!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
hieße dann : [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = (-4,5/0+4s/0) und dann mit einem richtungsvektor skalar multiplizieren also z.bsp : (0/4/0).
aber was ist dann mit dem s? irgendwie haben wir das noch nicht so gemacht.sollen uns aber mit der aufgabe befassen, blicke da noch nicht so ganz durch.
Danke für die Hilfe!
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Durch das skalare Multiplizieren bekommst du doch gerade dein konkretes s. Das fehlt ja als einziges noch^^.
Das setzt du dann in die Geradengleichung ein, in der das s vorkam (deswegen auch wichtig, dass die Parameter nicht gleich heißen) und du bekommst deinen Endpunkt, oder du setzt dein s gleich in den Vektor [mm] \overrightarrow{PG} [/mm] ein, dann hast du gerade den gesuchten Vektor, dessen Betrag du bilden musst, um den Abstand h zu gewinnen.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
also :
(-4,5/4s/0) * (0/4/0) = 16 s ? und nun?
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Na Nullsetzten, zufälligerweise hast du schon mit deinen Stützvektoren einen Anfangs- und Endpunkt des gesuchten Vektors gefunden. D.h. der Vektor [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] mit eingesetzten s=o ist der gewünschte Vektor. Jetzt musst du noch seinen Betrag ausrechnen und noch in die Flächenformel einsetzt.
Fertig!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 11.01.2009 | | Autor: | Rambo |
hab ich das jetzt richtig verstanden , dass wir folgendermaßen gerechnet haben :
Q : [mm] \overrightarrow{0C} [/mm] + r * (AB)
P [mm] :\overrightarrow{0A}
[/mm]
und dann [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] ?
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> hab ich das jetzt richtig verstanden , dass wir
> folgendermaßen gerechnet haben :
>
> Q: [mm] \overrightarrow{0C} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{\red{CD}}
[/mm]
> P: [mm] \overrightarrow{0A}
[/mm]
P und Q sind Punkte, keine Geraden oder ähnliches. Deine Schreibweise soll dich nicht in die Irre führen!
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] ist ein allgemeiner Vektor, zwischen den Geraden, indem wir skalar multiplizieren und Null setzten, wird aus dem allgemeinem Vektor ein konkreter, welcher nämlich die Geraden auf kürzestem Weg verbindet.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Rambo |
Also lautet es folgendermaßen :
Q : [mm] \overrightarrow{0C} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{CD}
[/mm]
P : [mm] \overrightarrow{0A}
[/mm]
PQ : (-2-2,5/2-4r-(-2)/0) = 0 oder ?
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> Also lautet es folgendermaßen :
>
> Q : [mm]\overrightarrow{0C}[/mm] + r * [mm]\overrightarrow{CD}[/mm]
> P : [mm]\overrightarrow{0A}[/mm]
>
> PQ : (-2-2,5/2-4r-(-2)/0) = 0 oder ?
Nein! Wie willst du denn praktisch einen Vektor Nullsetzten?
Lies dir bitte genau durch, was ich geschrieben habe!
> Wir nehmen uns einen allgemeinen Punkt auf der einen Geraden, der
> lautet Q(-2+0*s|-2+4*s|0+0*s) und nehmen uns einen konkreten Punkt
> auf der anderen Geraden. Dieser Punkt kann z.B. P(2,5|-2|0) heißen. [...]
> Nun haben wir einen Vektor [mm] \overrightarrow{PQ}=\vektor{-2-2,5 \\
> -2+4s-(-2) \\ 0}. [/mm] Diesen musst du nun mit einen der beiden
> Richtungsvektoren skalar multiplizieren und Null setzten.
Dann löst du die eine Gleichung mit einer Unbekannten nach der unbekannten (hier wars mal s bzw. r) und rechnset den Betrag deines Vektors aus, mit eingesetzten Wert für die Unbekannte!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Rambo |
Also :
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] * [mm] \overrightarrow{CS}
[/mm]
(-4,5/4-4r/0) * (2/-2/12)
stimmt das?
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> Also :
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> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] * [mm]\overrightarrow{CS}[/mm]
>
> (-4,5/4-4r/0) * (2/-2/12)
>
> stimmt das?
Nein...
[mm] \overrightarrow{PQ}=\vektor{-2-2,5 \\ \red{-2+4s-(-2)} \\ 0}=\vektor{-4,5 \\ 4s \\ 0}
[/mm]
Und als Richtungsvektor hast du mir doch iwann im Verlauf den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 4 \\0} [/mm] angegeben.
Ich bin nicht gewillt, nach so viel Erklärung auch noch den allerletzten Schritt vorzuführen.
Im Text steht, so sollst nun den Vektor [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] mit deinem Richtungsvektor skalar Multiplizieren. Dabei erhälst du cos [mm] \alpha, [/mm] den Winkel zwischen den Vektoren. Dieser Winkel soll doch 90° sein (weil senkrecht). [mm] \\cos90°=0, [/mm] und deshalb reicht es, beim skalaren Multiplizieren nur den Zähler einfach Null zu setzten.
d.h.
[mm] \overrightarrow{PQ}*\vektor{0 \\ 4 \\0}=\bruch{0*(-4,5)+4*4s+0*0}{|\overrightarrow{PQ}|*|\vektor{0 \\ 4 \\0}|}\red{=cos 90°} \gdw 0*(-4,5)+4*4s+0*0\red{=0}
[/mm]
,wegen [mm] \\cos90°=0.
[/mm]
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | 2. d) Es sei l die Gerade, die orthogonal zur Eben E durch den Punkt S verläuft.
Bestimmen SIe die Koordinaten des Schnittpunktes L der Geraden l mit der Ebene E.
e) Die Ebene E teilt die Pyramide in einen oberen Zeilkörper und einen unteren Teilkörper. Bestimmten Sie das Volumen des unteren Teilkörpers. |
1.ok danke das mit der berechnung des flächeninhaltes hat sich geklärt.
vielen dank noch mals!
2. d)Hierzu habe ich mir folgendes gedacht :
Die Ebenengleichung aus Aufgabe b) lautet in Parameterfom folgendermaßen :
E : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AF}
[/mm]
also : (2,5/-2/0) + r * (0/4/0) + s * (-4/3,5/3)
Neue Geradengleichung, die orthogonal hierzu sein soll und durch den Punkt S verluafen (orthogonal müssen also die Richtungsvektoren sein, d.h. sie müssen Vielfache voneinander sein oder ?
Also : E : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = (0/0/12) + u * (0/8/0) + v * (-8/7/6)
also habe das 2 fache genommen.
wenn ich diese Terme gleichsetze komme ich dann auf die geforderten Koordinaten L?
e) wie gehe ich da zunächst vor?
Vielen Dank!!!
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Hallo Rambo,
was tust Du da gerade?
> 2. d) Es sei l die Gerade, die orthogonal zur Eben E durch
> den Punkt S verläuft.
>
> Bestimmen SIe die Koordinaten des Schnittpunktes L der
> Geraden l mit der Ebene E.
>
> e) Die Ebene E teilt die Pyramide in einen oberen
> Zeilkörper und einen unteren Teilkörper. Bestimmten Sie das
> Volumen des unteren Teilkörpers.
> 1.ok danke das mit der berechnung des flächeninhaltes hat
> sich geklärt.
> vielen dank noch mals!
>
> 2. d)Hierzu habe ich mir folgendes gedacht :
>
> Die Ebenengleichung aus Aufgabe b) lautet in Parameterfom
> folgendermaßen :
>
> E : [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{0A}[/mm] + r *
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] + s * [mm]\overrightarrow{AF}[/mm]
>
> also : (2,5/-2/0) + r * (0/4/0) + s * (-4/3,5/3)
>
> Neue Geradengleichung, die orthogonal hierzu sein soll und
> durch den Punkt S verluafen (orthogonal müssen also die
> Richtungsvektoren sein, d.h. sie müssen Vielfache
> voneinander sein oder ?
Orthogonal heißt senkrecht zueinander. Gesucht ist also eine "Normale" zur Ebene.
> Also : E : [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = (0/0/12) + u * (0/8/0) + v
> * (-8/7/6)
>
> also habe das 2 fache genommen.
Völliger Quatsch. Außerdem ist dies eine Ebene. Du suchst eine Gerade.
Wenn Du Deine Ebene mal in die sog. Normalform bringst, hast Du sofort auch den Normalenvektor. Den kannst Du z.B. als Kreuzprodukt der vorliegenden beiden Richtungsvektoren bestimmen und ggf. normieren (musst Du hier aber gar nicht unbedingt).
> wenn ich diese Terme gleichsetze komme ich dann auf die
> geforderten Koordinaten L?
Nein, so wie bisher sicher nicht.
> e) wie gehe ich da zunächst vor?
>
> Vielen Dank!!!
Mach erstmal Aufgabenteil d), das Ergebnis brauchst Du ja dann in e)
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Rambo |
also erst mal beide gleichungen in Normalenform bringen und dann ?
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Warum beide? Ich sehe nur eine Ebene, und die reicht auch in Parameterform.
Zuerst musst du dir mal eine Gerade l basteln. Dazu brauchst du ja einen Richtungsvektor, der orthogonal zur Ebene E sein soll, und einen Stützvektor, der auf der Ebene E liegt.
Ich nehem an, die Aufgabe bezieht sich immernoch auf die Aufgabestellung ganz oben, damit hast du ja einen Stützvektor schon gegeben. Den Normalvektor erhällst du z.B. indem du das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Spannvektoren deine Ebene bildest.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Rambo |
Also :
E(A;B;F) [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = (2,5/-2/0) + r * (0/4/0) + s * (-4/3,5/3)
g : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{S} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{n}
[/mm]
den normalvektor erhalt man durch das kreuzprodukt der beiden Richtungs vektoren (0/4/0) und (-4/3,5/3) oder ?
und somit erhalt man folgende Gerade :
g : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = (0/0/12) + t * (12/0/16)
stimmt das so ?kann man die dann gleichsetzen ?
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> E(A;B;F) [mm] \red{x} [/mm] = (2,5/-2/0) + r * (0/4/0) +
> s * (-4/3,5/3)
> g : [mm] \red{x}= \red{\overrightarrow{OS}} [/mm] + t *
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm]
Der Punkt S ist ja nur ein Punkt, du brauchst ja aber ein [mm] Stütz\red{vektor}. [/mm] Aber ich denk du hast jeweils das richtige gemeint^^.
> den normalvektor erhalt man durch das kreuzprodukt der
> beiden Richtungs vektoren (0/4/0) und (-4/3,5/3) oder ?
>
> und somit erhalt man folgende Gerade :
>
> g : [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = (0/0/12) + t * (12/0/16)
Wenn deine Ebenengleichung stimmt, dann ist das so richtig. Ich hab das Kreuzprodunkt nachgerechnet dann aber nicht mehr so recht überblicken, ob du nun die richtigen Vektoren genommen hast, aber ich denk ma schon^^
Du kannst also nun Gleichsetzten!
lg Kai
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Rambo |
ja genau das meinte ich ja ;)
[mm] \overrightarrow{0S} [/mm] habe ich dann als Stützvektor genommen.
habe das dann gleichgesetzt und folgendes heraus :
r = -1,11 , s =1,84 , t = -0,405
nun habe ich die werte der drei parameter in die Paramterform der Ebene und in den Geradenterm eingesetzt und folgenden Schnittpunkt :
L(-4,86/0/5,52) ,das müsste wohl stimmen oder?;)
2. wie geh ich am besten an den Aufgabenteil e) ran ?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Rambo |
kann mir vielleicht jemand auf die "sprünge" helfen ?
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Hallo Rambo,
> ja genau das meinte ich ja ;)
> [mm]\overrightarrow{0S}[/mm] habe ich dann als Stützvektor
> genommen.
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> habe das dann gleichgesetzt und folgendes heraus :
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> r = -1,11 , s =1,84 , t = -0,405
>
> nun habe ich die werte der drei parameter in die
> Paramterform der Ebene und in den Geradenterm eingesetzt
> und folgenden Schnittpunkt :
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> L(-4,86/0/5,52) ,das müsste wohl stimmen oder?;)
>
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> 2. wie geh ich am besten an den Aufgabenteil e) ran ?
>
Du erleichtest uns die Beantwortung ungemein, wenn du die Teilaufgaben bei erneuten Fragen nochmal aufführst:
e) Die Ebene E teilt die Pyramide in einen oberen Zeilkörper und einen unteren Teilkörper. Bestimmten Sie das Volumen des unteren Teilkörpers.
Hast du dir die Aufgabenstellung mal räumlich vorgestellt?
Wie sieht denn der obere Teilkörper aus, kannst du sein Volumen berechnen?
Ich habe jetzt nicht die ganze Diskussion gelesen, aber das Gesamtvolumen kennst du wohl schon, oder?
Wo ist dann dein Problem?
Gruß informix
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