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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:08 Di 28.03.2006 | | Autor: | jospeed |
| Aufgabe | In einem kartesischen KS sind die Punkte A(2/-1/0), B(4/3/0), C(0/5/-3) und D (-2/1/-3) gegeben.
Das Viereck ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(-5/5/8,5) und dem Volumen V. |
In vorangegangenen Teilaufgaben wurde bereits bewiesen, dass alle Punkte A,B,C,D in einer Ebene liegen und dass sie ein Rechteck ergeben. Des Weiteren ist die Pyramide gerade.
Nun die Frage:
Berechnen Sie einen von S verschiedenen Punkt P, sodass die Spitze P einer Pyramide mit der Grundfläche A,B,c;D ist und das Volumen P hat.
Ich weiß bereit,
- dass der Punkt P auf der Geraden [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1,5} [/mm] + u * [mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ 7} [/mm] liegt (ergibt sich aus dem Mittelpunkt der Diagonalen der Grundfläche M ( 1/2/-1,5) und dem Punkt S
- dass der Punkt P den Abstand [mm] \wurzel{145} [/mm] haben muss (ergibt sich aus dem Abstand [mm] \overline{MS}
[/mm]
Kann ich mit der Bedingung [mm] \overline{MS} [/mm] = k * [mm] \overline{MP} [/mm] was anfangen, wenn ich für k [mm] \wurzel{145} [/mm] einsetze?
Bin euch für jede Hilfe sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo jospeed & ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schon einmal vorab, ganz genau werde ich dir auf deine Frage nicht antworten, ich müsste es erst ausprobieren, um zu sehen, ob es geht...
> In einem kartesischen KS sind die Punkte A(2/-1/0),
> B(4/3/0), C(0/5/-3) und D (-2/1/-3) gegeben.
> Das Viereck ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit
> der Spitze S(-5/5/8,5) und dem Volumen V.
> In vorangegangenen Teilaufgaben wurde bereits bewiesen,
> dass alle Punkte A,B,C,D in einer Ebene liegen und dass sie
> ein Rechteck ergeben. Des Weiteren ist die Pyramide
> gerade.
>
> Nun die Frage:
>
> Berechnen Sie einen von S verschiedenen Punkt P, sodass die
> Spitze P einer Pyramide mit der Grundfläche A,B,c;D ist und
> das Volumen P hat.
>
> Ich weiß bereit,
>
> - dass der Punkt P auf der Geraden [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1,5}[/mm]
> + u * [mm]\vektor{-6 \\ 3 \\ 7}[/mm] liegt (ergibt sich aus dem
Idee: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ; Durchführung: ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") . Hier ist dir leider ein Fehler unterlaufen.
> Mittelpunkt der Diagonalen der Grundfläche M ( 1/2/-1,5)
> und dem Punkt S
Das finde ich sehr gut von dir, dass du erklärt hast, wo die Geradengleichung herkommt, da ist nämlich auch der Fehler passiert.
Die Gerade lautete ja [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \overline{0M} +u\overline{MS}
[/mm]
Und eben der Richtungsvektor ist nicht ganz richtig
[mm] \overline{MS} [/mm] = [mm] \vektor{-5-1\\5-2\\\red{8.5- (-1.5)}} [/mm] = [mm] \vektor{-6\\3\\10)}
[/mm]
> - dass der Punkt P den Abstand [mm]\wurzel{145}[/mm] haben muss
> (ergibt sich aus dem Abstand [mm]\overline{MS}[/mm]
>
> Kann ich mit der Bedingung [mm]\overline{MS}[/mm] = k *
> [mm]\overline{MP}[/mm] was anfangen, wenn ich für k [mm]\wurzel{145}[/mm]
> einsetze?
Bevor ich dazu etwas sage, erst einmal die, in meinen Augen, elegantere Lösung.
Stell dir mal vor, du hast eine Pyramide auf deinem Schreibtisch stehen. Sie steht da ja auf dem "Boden", d. h. die Höhe der Grundseite ändert sich nicht. Nun hat die Pyramide eine bestimmte Höhe, vom Mittelpunkt, wie du das auch schon richtig erkannt hast, bis zum Punkt S, der Spitze.
D. h. die Höhe wäre in cm oder metern oder wie auch immer |SM|, wie du das auch machen wolltest. Vom Punkt S aus gehen wir zum Mittelpunkt einen bestimmten Vektor herunter, nämlich den Vektor [mm] \overline{SM}. [/mm]
Gehen wir vom Vektor [mm] \overline{0S} [/mm] den Vektor [mm] \overline{SM} [/mm] einmal herunter, sind wir wieder beim Mittelpunkt! Das darfst du gerne mal ausprobieren...
Da die Pyramide gerade ist, musst du nun noch einmal den Vektor [mm] \overline{SM} [/mm] vom Mittelpunkt heruntergehen und du erreichst den gesuchten Punkt P.
Für diesen Punkt habe ich folgendes heraus (natürlich ohne gewähr) P(7|-1|-11.5)
Zur Probe, die ich allerdings jetzt nicht gemacht habe, muss der Punkt P auch auf der von dir aufgestellten Geraden liegen (natürlich die mit dem korrigierten Richtungsvektor)
> Kann ich mit der Bedingung [mm]\overline{MS}[/mm] = k *
> [mm]\overline{MP}[/mm] was anfangen, wenn ich für k [mm]\wurzel{145}[/mm]
> einsetze?
Und wie kommst du jetzt auf [mm] \wurzel{145}? [/mm] Das ist der Betrag des Vektors [mm] \overline{MS}? [/mm] Da du den Punkt P nicht kennst, denke ich mal, dass dir das wenig bringt. Ich nehme das an, da du in der Rechnung m. E. hier einfach nur einen Punkt suchst, der von dem Mittelpunkt M den selben Abstand hat wie M zu S. Allerdings gibt es von einem Punkt (in diesem Fall von Punkt M) mehr als 2 verschiedene Punkte im 3d-Raum, die den selben Abstand haben.
Nehmen wir mal als Beispiel
Z (1|1|1) und nehmen drei verschiedene Punkte, die alle den selben Abstand zum Punkt Z haben
W (1|0|0)
X (0|1|0)
Y (0|0|1)
[mm] |\overline{ZW}| [/mm] = [mm] \wurzel{(1-1)^2+(1-0)^2+(1-0)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] |\overline{ZX}|= \wurzel{(1-0)^2+(1-1)^2+(1-0)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] |\overline{ZY}|= \wurzel{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Nach meinem Erschließen stellst du mit deinem Ansatz nicht sicher, dass die Pyramide gerade ist!
> Bin euch für jede Hilfe sehr dankbar!
Ich hoffe, dass reicht für den Anfang, du darfst allerdings gerne nachfragen bei Unklarheiten (oder bei neuen Fragen)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 29.03.2006 | | Autor: | jospeed |
Hallo,
danke für die Info.
Habe mit auf der Baisi noch eine einfachere Lösung überlegt, da mich das mit runtergehen etc. etwas irritiert hat 
Meine Lösung:
[mm] \overrightarrow{MS} [/mm] = [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] (da ja beide die gleiche Länge auf Grund der Höge habe müssen
so, dann einfach nur noch eingesetzt:
[mm] \vektor{-6 \\ 3 \\ 10} [/mm] = [mm] \vektor{1-x \\ 2-y \\ -1,5-z}
[/mm]
Daraus folgt:
I -6=1-x
II 3=2-y
III 10=-1,5-z
Ergebnis: P(7/-1/-11,5)
Grüße, jospeed
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
Hi jospeed.
Ich finds echt klasse von dir, dass du hier die Lösung noch einmal präsentiert hast.
> Habe mit auf der Baisi noch eine einfachere Lösung
> überlegt, da mich das mit runtergehen etc. etwas irritiert
> hat
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]\overrightarrow{MS}[/mm] = [mm]\overrightarrow{PS}[/mm] (da ja beide
> die gleiche Länge auf Grund der Höge habe müssen
>
> so, dann einfach nur noch eingesetzt:
>
> [mm]\vektor{-6 \\ 3 \\ 10}[/mm] = [mm]\vektor{1-x \\ 2-y \\ -1,5-z}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> I -6=1-x
> II 3=2-y
> III 10=-1,5-z
>
> Ergebnis: P(7/-1/-11,5)
Gut gemacht!
mfG!
Disap
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