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Hallo,
bei einer bestimmten Aufgabe komme ich leider nicht mehr weiter.
Ein Viereck ist durch 4 Punkte gegeben:
A(2/-4/4)
B(5/1/8)
C(8/-4/12)
D(5/-9/8)
Jetzt soll ich die Spitzen einer geraden quadratischen Pyramide mit der Höhe h=10 bestimmen.
ABCD ist sozusagen die Platform für die Pyramide.
Was ich gemacht habe:
Die Koordinatengleichung aufgestellt, damit ich den Normalvektor finde.
E: 8x1-6x3 = -8
Normalvektor (8/0/-6)
Dann habe ich den Mittelpunkt des Quadrates ausgerechnet.
M=(5/-4/8)
Jetzt weiß ich aber nicht wie ich die obere und untere Spitze der Pyramide ausrechnen soll.
Die Gerade auf der die beiden Spitzen liegen habe ich schon.
g:(5/-4/8) + t*(8/0/-6)
Ich muss den Normalvektor sozusagen t mal multiplizieren damit ich dann an die Spitzen komme.
Und dafür bräuchte ich einen Lösungsweg.
Ich hoffe ich konnte mich verständlich machen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 So 15.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo philipp-100,
schau Dir mal an, wie lang der Normalenvektor ist.
Dann kannst Du auch leicht berechnen ( ), womit Du ihn multiplizieren musst.
Übrigens brauchst Du dann auch gar nicht die Geradengleichung, sondern kannst den (mulitplizierten...) Normalenvektor direkt zum Ortsvektor des Mittelpunktes addieren (was freilich ziemlich aufs selbe hinausläuft).
Schöne Grüße,
ardik
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Tschau Philipp!
Bevor ich zu deiner eingentlichen Frage komme, noch ein kleiner Tipp zu dem, was du schon gemacht hast.
Es ist gar nicht nötig, die Ebenengleichung aufzustellen um damit den Normalenvektor abzulesen. Wenn du weisst was ein Kreuzprodukt ist, kannst du z.B. [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] nehmen, die ja die Quadratebene bestimmen und bildest mit ihnen das Kreuzprodukt.
Denn das Kreuzprodukt (nicht das Skalarprodukt) dieser beiden Vektoren gibt uns einen Vektor, der senkrecht zu den beiden steht, also senkrecht auf der Quadratebene!
Nun zu deiner eigentlichen Frage:
Für den Ortsvektor der Spitze gilt:
[mm] \overrightarrow{r_{S}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}+ [/mm] t * [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 0\\ -6 \end{pmatrix}
[/mm]
Du weisst aber nicht, wie gross das t sein muss. Aber die Länge des Normalenvektors, der die Höhe darstellt, muss 10 LE (Längeneinheiten) sein.
Also gilt folgendes:
[mm] \left| t * \begin{pmatrix} 8 \\ 0\\ -6 \end{pmatrix} \right| [/mm] = 10
Also gilt auch:
(8 * [mm] t)^{2} [/mm] + (0 * [mm] t)^{2} [/mm] + (-6 * [mm] t)^{2} [/mm] = 100
Wenn du das nach t auflöst, erhältst du:
[mm] t_{1} [/mm] = 1 und [mm] t_{2} [/mm] = -1
Diese beiden Werte setzt du in die Gleichung
[mm] \overrightarrow{r_{S}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}+ [/mm] t * [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 0\\ -6 \end{pmatrix}
[/mm]
ein und bekommst die Spitzen
[mm] S_{1} [/mm] (13/-4/2) und [mm] S_{2} [/mm] (-3/-4/14)
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