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| Aufgabe | Gesucht sind gerade quadratische Pyramiden, bei welchen
sowohl die Grundkantenlänge a , die Seitenkantenlänge s
als auch der Radius r der umbeschriebenen Kugel ganzzahlig
sind.
a) Suche die kleinsten Werte r, a, s [mm] \in\IN [/mm] , welche zu
einer solchen Pyramide führen.
b) Suche den kleinstmöglichen Wert von r, welcher zwei
nicht kongruente Pyramiden dieser Art erlaubt. |
Diese Aufgabe ist als Leckerbissen für alle gedacht,
die gerne mit Geometrie und Zahlen spielen.
Auf die Idee zu dieser Aufgabe hat mich diese
Aufgabe von maximax
gebracht.
LG , Al-Chwarizmi
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Zu der Aufgabe gäbe es Varianten:
(1) gleiche Aufgabe, aber mit der zusätzlichen Forderung,
dass sich der Mittelpunkt der Umkugel innerhalb der
Pyramide befinden soll
(zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich zunächst
überhaupt nur diesen Fall gemeint hatte)
(2) gleiche Aufgabe, aber mit dem Inkugel- anstelle des
Umkugel-Radius
LG , Al-Chw.
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> Gesucht sind gerade quadratische Pyramiden, bei welchen
> sowohl die Grundkantenlänge a , die Seitenkantenlänge s
> als auch der Radius r der umbeschriebenen Kugel
> ganzzahlig
> sind.
>
> a) Suche die kleinsten Werte r, a, s [mm]\in\IN[/mm] , welche zu
> einer solchen Pyramide führen.
>
> b) Suche den kleinstmöglichen Wert von r, welcher zwei
> nicht kongruente Pyramiden dieser Art erlaubt.
> Diese Aufgabe ist als Leckerbissen für alle gedacht,
> die gerne mit Geometrie und Zahlen spielen.
Hallo,
ich habe mich nun mit diesen Fragen etwas weiter
auseinandergesetzt und dabei verschiedene Methoden
ausprobiert, die möglichen Fälle zu tabellieren.
Schließlich habe ich zuerst gemerkt, dass es wohl
am günstigsten ist, zunächst nur die teilerfremden
Tripel (r,s,a) zu betrachten, denn die übrigen
möglichen Tripel lassen sich dann ja leicht als
Vielfache davon bestimmen, ohne dass man für
jedes einzelne Tripel eine neue Suche anstellt.
Dies verkürzt die Rechenzeit schon ganz deutlich.
Zu einer weiteren drastischen Einsparung an Rechen-
zeit kam ich durch die Beobachtung, dass in der
Liste der teilerfremden Tripel anscheinend (so weit
ich gesucht hatte) alle Radien r Quadratzahlen sind.
Bewiesen habe ich diese Eigenschaft allerdings
(noch) nicht - vielleicht interessiert sich aber
jemand für eine solche Untersuchung.
Dann habe ich natürlich die Suche so umgekrempelt,
dass ich zuallererst die Radien nur die Quadratzahlen
r = [mm] k^2 [/mm] bis zu einem vorgegebenen [mm] r_{max} [/mm] durchlaufen
lasse. Weiter kann dann s nur die geraden Zahlen
angefangen bei 2 bis maximal [mm] r_{max}-2 [/mm] durchlaufen.
Für jedes damit erzeugte Paar (r,s) berechne ich dann
den Term
$\ Q:=\ [mm] \frac{s^2*(4\,r^2-s^2)}{2\,r^2}$
[/mm]
Nur falls Q und auch die Quadratwurzel davon sich
als ganzzahlig erweisen, hat man ein neues mögliches
Tripel (r,s,a) gefunden, indem man $\ [mm] a:=\sqrt{Q}$ [/mm] setzt.
Auf diese Weise bin ich dann zur folgenden Tabelle
gelangt:
. t r s a
. 1) 9 6 8
. 2) 81 126 112
. 3) 121 154 168
. 4) 289 34 48
. 5) 361 646 408
. 6) 729 1242 920
. 7) 1089 1122 1360
. 8) 1089 2046 992
. 9) 1681 1886 2208
. 10) 1849 602 840
. 11) 2601 4794 2632
. 12) 2601 4998 1960
. 13) 3249 798 1120
. 14) 3249 4674 4592
. 15) 3481 4838 4920
. 16) 4489 4154 5208
. 17) 5329 10366 3408
. 18) 6561 2754 3808
. 19) 6889 13114 5688
. 20) 7921 12994 10512
. 21) 9409 9118 11280
. 22) 9801 198 280
. 23) 9801 19206 5432
. 24) 11449 19046 14952
. 25) 12769 11074 14112
. 26) 14641 5566 7728
. 27) 15129 17958 20440
. 28) 15129 29274 10472
. 29) 16641 29154 19888
. 30) 16641 32766 8128
. 31) 17161 8122 11160
. 32) 18769 32606 22848
. 33) 19321 28634 27192
. 34) 23409 27234 31328
. 35) 23409 31518 32960
. 36) 26569 52486 11592
. 37) 29241 24282 31240
. 38) 29241 57114 17368
. 39) 31329 27966 35392
. 40) 31329 56994 33488
. 41) 32041 6086 8568
. 42) 34969 51238 49320
. 43) 34969 56474 47112
. 44) 37249 18914 25872
Die oberste Zeile der Tabelle gibt die Antwort auf die Frage (a)
und gleichzeitig die Lösung für das ursprüngliche Problem
mit der von der Spitze her vertikal durchbohrten Pyramide.
Dabei wird klar, dass der Endpunkt der Bohrung, also der
Umkugel-Mittelpunkt der Pyramide, weit unterhalb der
Grundfläche der Pyramide liegen muss.
Beschränkt man sich in der Tabelle auf jene Pyramiden,
bei welchen dieser Umkugelmittelpunkt innerhalb der
Pyramide liegt, so wird sie natürlich ausgelichtet. Das
kleinste mögliche Tripel ist dann (r,s,a) = (81,126,112).
Zum selben Radius r=81 kann man dann natürlich eine
andere, nicht kongruente Pyramide herstellen, indem
man (r,s,a) = (81,54,72) wählt, nämlich das mit dem
Faktor 9 multiplizierte Tripel (9,6,8). Dann haben wir
also eine Kugel mit ganzzahligem Radius, in welche zwei
unterschiedliche gerade quadratische Pyramiden mit
lauter ganzzahligen Kantenlängen einbeschrieben
werden können. Der Radius r=81 ist der kleinste mögliche
für diese Konstellation. Sollen sogar zwei unterschiedliche
Pyramiden in eine Kugel passen, deren Mittelpunkt
innerhalb beider Pyramiden liegt, so müsste man
r=729 wählen. Man merkt natürlich noch, dass hier
die Potenzen von 3 bzw. von 9 eine gewisse Rolle spielen:
[mm] 9=9^13^2 [/mm] , [mm] 81=9^2=3^4 [/mm] , [mm] 729=9^3=3^6
[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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