Pythagoras Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Do 08.12.2011 | | Autor: | Phecda |
Hallo
Ich habe ein rechtwinkliges Dreieck gegeben und alle Seitenlängen sind ganzzahlig bzw. natürliche Zahlen.
Ich soll zeige dass 60 das Produkt der Seitenlänge teil.
Dazu habe ich einen Tip bekommen; ich soll die Teilbarkeit von dem Produkt der Seitenlängen durch 4,3 und 5 getrennt zeigen.
Ich verstehe nicht warum der Tip etwas mit der eigentlichen Aufgabenstelung zu tun hat und zum anderen weiß ich nicht was mein Ansatz sein soll; ich habe schon mit allen möglichen trigonometrischen Überlegungen angefangen; aber das führt nicht zum Ziel.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Guten Abend,
> Ich habe ein rechtwinkliges Dreieck gegeben und alle
> Seitenlängen sind ganzzahlig bzw. natürliche Zahlen.
> Ich soll zeige dass 60 das Produkt der Seitenlänge teil.
> Dazu habe ich einen Tip bekommen; ich soll die Teilbarkeit
> von dem Produkt der Seitenlängen durch 4,3 und 5 getrennt zeigen.
Wenn du den Hinweis benutzt, und die Teilbarkeit des Produktes durch 3,4 und 5 gezeigt hast, folgt automatisch die Teilbarkeit durch $3*4*5=60$.
Zum Beweis. Du hast
[mm] a^2+b^2=c^2
[/mm]
mit [mm] a,b,c\in\IZ.
[/mm]
Betrachte diese Gleichung modulo 3,4,5 und folgere jeweils, dass mindestens eine der Zahlen durch 3,4,5 teilbar ist.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Do 08.12.2011 | | Autor: | Phecda |
hallo was heißt es die pythagoras identität modulo 3,4,5 zu betrachten? kannst du einen beispiel machen?
|
|
|
| |
|
> hallo was heißt es die pythagoras identität modulo 3,4,5
> zu betrachten? kannst du einen beispiel machen?
Beispiel mod 5:
Überzeuge dich, dass Quadrate nur die Reste 0,1,4 bei Division durch 5 lassen.
Wir wollen zeigen, dass eine der Zahlen a,b,c in
[mm] a^2+b^2=c^2
[/mm]
den Rest 0 bei Division durch 5 lässt. Dazu reicht es z.z., dass einer der Zahlen [mm] a^2,b^2,c^2 [/mm] Rest 0 bei Division durch 5 lässt.
Angenommen [mm] c^2 [/mm] lässt Rest 1 bei Division durch 5, dann können [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] nur die Reste 0 und 1 bei Division durch 5 lassen.
Angenommen [mm] c^2 [/mm] lässt Rest 4 bei Division durch 5, dann können [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] nur die Reste 0 und 4 bei Division durch 5 lassen.
Sonst lässt [mm] c^2 [/mm] Rest 0 bei Division durch 5, ist also selbst durch 5 teilbar.
Es ist also immer eine der Zahlen [mm] a^2,b^2,c^2 [/mm] durch 5 teilbar.
Mir fällt gerade auf, dass Du für Teilbarkeit einer der Zahlen a,b,c durch 4 besser die Gleichung mod 16 betrachten solltest (die Fallunterscheidungen sind nicht schön, vielleicht gibt es einen besseren Weg).
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 08.12.2011 | | Autor: | Phecda |
okay das läuft alles auf sehr vielen fallunterscheidungen hinaus?
kann man das nicht auch einfach "ausrechnen"?
algebraisch?
|
|
|
| |
|
Hallo Phecda,
es geht auch schneller, aber nur...
> okay das läuft alles auf sehr vielen fallunterscheidungen
> hinaus?
Auf dem bisherigen Weg ja.
> kann man das nicht auch einfach "ausrechnen"?
> algebraisch?
Nein, das kann man nicht.
Es ist aber möglich den Weg erheblich abzukürzen, wenn Du die allgemeine Form eines ![[]](/images/popup.gif) pythagoreischen Tripels verwenden darfst.
Dann ist nämlich das Produkt der Seitenlängen
[mm] abc=(u^2-v^2)*2uv*(u^2+v^2)=2uv(u^4-v^4)
[/mm]
Das betrachtet man nun mod 3,4,5. Der Fall, dass mindestens eine Seitenlänge bereits durch den jeweiligen Modul teilbar ist, scheidet ja aus. Wir suchen nach einem Gegenbeispiel - und wenn keins möglich ist, dann stimmt die Behauptung.
Nach der Transformation auf nur noch zwei Variable u,v geht das genauso. Wenn u oder v durch den Modul teilbar ist, dann ist es auch die Seite b=2uv.
mod 3 gilt: [mm] uv\not\equiv{0}\quad\Rightarrow\quad(u^4-v^4)\equiv{0}
[/mm]
mod 5 gilt das gleiche.
mod 4 gilt: ist uv gerade, so ist die Seite [mm] b=2uv\equiv{0}
[/mm]
Ist uv ungerade, gilt wieder das gleiche wie oben zu mod 3 bzw. mod 5.
Also muss zu allen drei Modulen [mm] abc\equiv{0} [/mm] sein, und nach dem chin. Restsatz also damit
[mm] abc\equiv 0\mod{60}
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Phecda |
Hallo, danke für die gute Antwort ich habe jedoch noch einge Probleme die Argumentation zu folgen:
>
> Dann ist nämlich das Produkt der Seitenlängen
> [mm]abc=(u^2-v^2)*2uv*(u^2+v^2)=2uv(u^4-v^4)[/mm]
>
> Das betrachtet man nun mod 3,4,5. Der Fall, dass mindestens
> eine Seitenlänge bereits durch den jeweiligen Modul
> teilbar ist, scheidet ja aus. Wir suchen nach einem
> Gegenbeispiel - und wenn keins möglich ist, dann stimmt
> die Behauptung.
> Nach der Transformation auf nur noch zwei Variable u,v geht
> das genauso. Wenn u oder v durch den Modul teilbar ist,
> dann ist es auch die Seite b=2uv.
>
Was heißt "durch den Modul teilbar"?
> mod 3 gilt:
> [mm]uv\not\equiv{0}\quad\Rightarrow\quad(u^4-v^4)\equiv{0}[/mm]
>
Warum ist hier [mm]uv\not\equiv{0}[/mm]
> mod 5 gilt das gleiche.
Das verstehe ich auch nicht. Ich versteh einfach nicht, wie ihr durch diese Variablen teilt und wisst, was raus kommt ...
>
> mod 4 gilt: ist uv gerade, so ist die Seite [mm]b=2uv\equiv{0}[/mm]
> Ist uv ungerade, gilt wieder das gleiche wie oben zu mod 3
> bzw. mod 5.
>
> Also muss zu allen drei Modulen [mm]abc\equiv{0}[/mm] sein, und nach
> dem chin. Restsatz also damit
> [mm]abc\equiv 0\mod{60}[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
|
|
|
| |
|
Hallo Phecda,
kann es einfach sein, dass Dir die Modulrechnung noch neu und daher nicht geläufig ist? Dann ist die Aufgabe eigentlich eine Nummer zu groß, aber gerade noch machbar.
Am Anfang ist das immer ein bisschen schwer zu durchschauen mit den Modulen und den Restklassen, aber man gewöhnt sich schnell daran.
> > Dann ist nämlich das Produkt der Seitenlängen
> > [mm]abc=(u^2-v^2)*2uv*(u^2+v^2)=2uv(u^4-v^4)[/mm]
> >
> > Das betrachtet man nun mod 3,4,5. Der Fall, dass mindestens
> > eine Seitenlänge bereits durch den jeweiligen Modul
> > teilbar ist, scheidet ja aus. Wir suchen nach einem
> > Gegenbeispiel - und wenn keins möglich ist, dann stimmt
> > die Behauptung.
>
> > Nach der Transformation auf nur noch zwei Variable u,v geht
> > das genauso. Wenn u oder v durch den Modul teilbar ist,
> > dann ist es auch die Seite b=2uv.
>
> Was heißt "durch den Modul teilbar"?
Na, wenn man [mm] \mod{3} [/mm] betrachtet, dann also hier: wenn u oder v durch drei teilbar ist, dann...
Man würde eigentlich genauer sagen: wenn u oder v [mm] \equiv 0\mod{3}, [/mm] ...
> > mod 3 gilt:
> > [mm]uv\not\equiv{0}\quad\Rightarrow\quad(u^4-v^4)\equiv{0}[/mm]
>
> Warum ist hier [mm]uv\not\equiv{0}[/mm]
Das ist der andere Fall. Wenn u und v beide [mm] \not\equiv 0\mod{n} [/mm] sind, dann folgt daraus...
> > mod 5 gilt das gleiche.
>
> Das verstehe ich auch nicht. Ich versteh einfach nicht, wie
> ihr durch diese Variablen teilt und wisst, was raus kommt
> ...
für [mm] m\not\equiv 0\mod{5} [/mm] gilt doch [mm] m^4\equiv 1\mod{5}.
[/mm]
Das folgt aus dem "kleinen Fermat".
Den müsstet Ihr aber schon gehabt haben:
Für [mm] p\in\IP [/mm] und a mit ggT(a,p)=1 gilt [mm] a^{p-1}\equiv 1\mod{p}
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Phecda |
> Hallo Phecda,
>
> kann es einfach sein, dass Dir die Modulrechnung noch neu
> und daher nicht geläufig ist? Dann ist die Aufgabe
> eigentlich eine Nummer zu groß, aber gerade noch machbar.
>
> Am Anfang ist das immer ein bisschen schwer zu durchschauen
> mit den Modulen und den Restklassen, aber man gewöhnt sich
> schnell daran.
>
> > > Dann ist nämlich das Produkt der Seitenlängen
> > > [mm]abc=(u^2-v^2)*2uv*(u^2+v^2)=2uv(u^4-v^4)[/mm]
> > >
> > > Das betrachtet man nun mod 3,4,5. Der Fall, dass mindestens
> > > eine Seitenlänge bereits durch den jeweiligen Modul
> > > teilbar ist, scheidet ja aus. Wir suchen nach einem
> > > Gegenbeispiel - und wenn keins möglich ist, dann stimmt
> > > die Behauptung.
> >
> > > Nach der Transformation auf nur noch zwei Variable u,v geht
> > > das genauso. Wenn u oder v durch den Modul teilbar ist,
> > > dann ist es auch die Seite b=2uv.
> >
> > Was heißt "durch den Modul teilbar"?
>
> Na, wenn man [mm]\mod{3}[/mm] betrachtet, dann also hier: wenn u
> oder v durch drei teilbar ist, dann...
> Man würde eigentlich genauer sagen: wenn u oder v [mm]\equiv 0\mod{3},[/mm]
> ...
>
> > > mod 3 gilt:
> > > [mm]uv\not\equiv{0}\quad\Rightarrow\quad(u^4-v^4)\equiv{0}[/mm]
> >
> > Warum ist hier [mm]uv\not\equiv{0}[/mm]
>
> Das ist der andere Fall. Wenn u und v beide [mm]\not\equiv 0\mod{n}[/mm]
> sind, dann folgt daraus...
Hallo, sorry für die Frage, mir kam grad die Idee gekommen wie ich das beweise kann, ich xte das aus und dann passt das...
Hallo, ich versteh es immer noch nicht; Ich betrachte den Fall, dass u und v durch 3 teilbar sind, dann habe ich ja gezeigt, dass das Produkt abc durch 3 teilbar ist, weil eben u und v in dem Produkt auftauchen; betrachte ich den Fall, dass weder u noch v durch 3 teilbar ist, so kann ich zeigen, dass [mm] u^4-v^4 [/mm] durch 3 teilbar ist? Warum? Mit Fermat hat das doch nix zu tun, weil 4 keine Primzahl ist ... oder kann man doch mit Fermat argumentieren?
> > > mod 5 gilt das gleiche.
> >
> > Das verstehe ich auch nicht. Ich versteh einfach nicht, wie
> > ihr durch diese Variablen teilt und wisst, was raus kommt
> > ...
>
> für [mm]m\not\equiv 0\mod{5}[/mm] gilt doch [mm]m^4\equiv 1\mod{5}.[/mm]
>
> Das folgt aus dem "kleinen Fermat".
> Den müsstet Ihr aber schon gehabt haben:
> Für [mm]p\in\IP[/mm] und a mit ggT(a,p)=1 gilt [mm]a^{p-1}\equiv 1\mod{p}[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
|
|
|
| |
|
Hallo Phecda,
ja, auch im Fall n=3 kannst Du mit Fermat argumentieren. Für (m,n)=1 gilt doch [mm] m^{3-1}\equiv 1\mod{3}, [/mm] also auch [mm] (m^2)^2\equiv 1\mod{3}.
[/mm]
Für [mm] u,v\not\equiv 0\mod{3} [/mm] ist daher [mm] u^4-v^4\equiv 0\mod{3}.
[/mm]
Grüße
reverend
PS: Schau Dir den kleinen Fermat noch mal an. Der Exponent soll doch gar nicht prim sein, sondern der Modul!
|
|
|
|
