Pythagoras anwenden? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:38 Do 17.05.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | | Sei W normierter Vektorraum, U abgeschlossener sowie V eindimensionaler Unterraum von W. Zeige: U+V ist abgeschlossen. |
Hallo,
o.E gibt es [mm] v\in [/mm] V mit [mm] v\notin [/mm] U.
[mm] U+V=\{u+tv: u\in U, t\in\IR\}.
[/mm]
Sei [mm] u_n+t_nv [/mm] konvergente Folge in U+V. Ich will zeigen, dass der Grenzwert in U+V liegt.
Darf ich dazu den Satz des Pythagoras anwenden: [mm] \|u_n+t_nv\|=\|u_n\|+|t_n|\|v\| [/mm] ?
Bin mir da nicht so sicher.
Danke &Gruß,
mili
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:54 Do 17.05.2012 | | Autor: | mili03 |
> Darf ich dazu den Satz des Pythagoras anwenden:
> [mm]\|u_n+t_nv\|=\|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm] ?
Ich meine
[mm] \|u_n+t_nv\|^2=\|u_n\|^2+|t_n|^2\|v\|^2.
[/mm]
Sorry.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Do 17.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei W normierter Vektorraum, U abgeschlossener sowie V
> eindimensionaler Unterraum von W. Zeige: U+V ist
> abgeschlossen.
> Hallo,
>
> o.E gibt es [mm]v\in[/mm] V mit [mm]v\notin[/mm] U.
>
> [mm]U+V=\{u+tv: u\in U, t\in\IR\}.[/mm]
>
> Sei [mm]u_n+t_nv[/mm] konvergente Folge in U+V. Ich will zeigen,
> dass der Grenzwert in U+V liegt.
>
> Darf ich dazu den Satz des Pythagoras anwenden:
> [mm]\|u_n+t_nv\|=\|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm] ?
Das ist Unsinn ! Es gilt:
[mm]\|u_n+t_nv\| \le \|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm]
Der Satz von Pythagoras ist nur richtig in Vektorräumen mit Skalarprodukt <*,*> und der Norm ||x||= [mm] \wurzel{}. [/mm] Er lautet:
[mm] ||u+v||^2=||u||^2+||v||^2, [/mm] falls <u,v>=0
FRED
>
> Bin mir da nicht so sicher.
>
> Danke &Gruß,
> mili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:07 Do 17.05.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
danke.
> [mm]\|u_n+t_nv\| \le \|u_n\|+|t_n|\|v\|[/mm]
Schade, dann komme ich so nicht zu meinem Ziel.
Ich wollte zeigen, dass [mm] t_n [/mm] ebenfalls konvergiert gegen ein t. Dann würde aus der Abgeschlossenheit von U folgen und weil [mm] u_n [/mm] dann ebenfalls konvergiert, dass [mm] u_n+t_n\to [/mm] u+tv für ein [mm] u\in [/mm] U und [mm] t\in\IR.
[/mm]
Wie wäre es, wenn ich die lineare Abbildung [mm] \varphi\equiv0 [/mm] auf U fortgesetzt auf U+V mit [mm] \varphi(v)=1 [/mm] betrachte (sie ex. wegen Hahn-Banach)?
Diese Abbildung ist dann stetig (weil Ker [mm] \varphi [/mm] = U abgeschlossen), und es gilt [mm] $t_n=\varphi(u_n+ [/mm] t_nv)$. Kann ich dann sagen, dass aufgrund der Stetigkeit von [mm] \varphi [/mm] der Grenzwert [mm] t:=\lim_{n\to\infty}\varphi(u_n+t_nv) [/mm] existiert?
Dank nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Sa 19.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
