Pythagoras im Raum < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Pythagoras im Raum
a) Berechne die Länge d einer Raumdiagonale im Quader mit den Kantenlängen a, b und c!
b) Welche Kantenlänge hat ein Würfel, dessen Raumdiagonale 10cm lang ist? |
Ich brauche eigentlich nur die Lösung der Aufgabe, vorallem von a), da man damit wohl b) ausrechnen kann.
Als Idee dafür hatte ich, dass man die eine Seite umklappt und das ganze dann als Dreieck nimmt. Die Diagonale bildet dann die Hypotenuse, a+b wäre dann eine Kathete. Aber das hat irgendwie nicht funktioniert.
(a ist die lange Seite des Quaders, b die kurze, c ist die Höhe. Die Diagonale d verläuft von dem Eckpunkt zwischen a und b zur gegenüberliegenden Seite. Sieht man alles auf dem Bild, das ich leider nicht mit anfügen kann.)
Danke schon im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 So 25.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Um die Raumdiagonale auszurechnen, musst du den Pythagoras 2mal einsetzen!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das hier meinst du doch sicher :)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für die Länge dieser Gerade d brauchst du ja die anderen markierten Längen. Das Problem ist sicher sie Länge auf dem Boden, da diese nirgends angegeben ist...
[Dateianhang nicht öffentlich]
...aber diese kommt auch nur durch den Pythagoras zustande! Diese Bodenlinie x lässt sich auch durch ihn berechnen (mit en Seitenlängen a und b).
Bei b) sollte das dann nicht mehr sooo schwer sein, da du ja nur as als Seiten hast und die gut zusammenfassen kannst!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Also wäre das dann x² = a² + b²?
dann d² = x² + c²
oder habe ich da was falsch verstanden? Dann würde es doch heißen
d² = a² + b² + c²
und dann daraus die Wurzel um d zu erhalten? Aber da komme ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 25.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Alles richtig! Wenn du dort keine konkreten Zahlen hast, hats du die Aufgabe mit d= [mm] \wurzel{a²+b²+c²} [/mm] gelöst. Genauso steht die Formel auch im Tafelwerk/Formelsammlung :)
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Hallo Goldener_Sch.,
> Diese imenz lange Nachkommastelle
kann man sich sparen!
(Die Kanten eines Würfels sind nur ganz, ganz selten länger
als die Raumdiagonale.![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Eigentlich nie.)
[mm] $a^2+a^2+a^2=(10cm)^2\gdw [/mm] $
[mm] $3*a^2=(10cm)^2 \gdw [/mm] $
[mm] $a^2=\frac{(10cm)^2}3 \gdw [/mm] $
[mm] $a=\wurzel{\frac{(10cm)^2}3}=\wurzel{\frac{10^2}3}cm=\wurzel{\frac13}*10cm \approx [/mm] 5,7735cm$
Gruß Karthagoras
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| Aufgabe | Die Sache mit der Kantenlänge...
... und der Formel: $ [mm] K_{Wuerfel.\red{gesamt}}=\wurzel{3}\cdot{}4\cdot{}d_{Raumdiangonale} [/mm] $
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Hallo Leute!!!
... und einenen wunderschönen guten Morgen!
Weil ich hier beschuldigt werde, eine falsche (Teil-) Antwort gegeben zu haben, muss ich mich hier mal einschalten .
Mit folgender Formel habe ich die, wenn man so will, die "gesamte Kantenlänge", oder die Summe der einzelen Kantenlängen brechnet!
Daher habe ich wohl ein wahrschenlich falsches Verständnis für diesen Begirff gehabt, was mir leid tut!
Ich begründe dann ihre Richtigkeit so:
[mm]d^2_{Raum.Quad.}=a^2+b^2+c^2[/mm]
[mm]a:=a=b=c[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]d_{Raum.Quad.}=a^2+a^2+a^2=3a^2[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]d_{Raum.Quad.}=\wurzel{3}a[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]a=\left \bruch{d_{Raum.Quad.}}{\wurzel{3}} \right[/mm]
[mm]K_{Wuerfel.gesamt}=4*(a+b+c)[/mm]
[mm]a:=a=b=c[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]K_{Wuerfel.gesamt}=4*(a+a+a)=4*(3a)=12a[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]K_{Wuerfel.gesamt}=12a[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]K_{Wuerfel.gesamt}=12*\left \bruch{d_{Raum.Quad.}}{\wurzel{3}} \right[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]K_{Wuerfel.gesamt}=12*\left \bruch{d_{Raum.Quad.}*\wurzel{3}}{\wurzel{3}*\wurzel{3}} \right[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]K_{Wuerfel.gesamt}=12*\left \bruch{d_{Raum.Quad.}*\wurzel{3}}{3} \right[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]K_{Wuerfel.\red{gesamt}}=\wurzel{3}*4*d_{Raum.Quad.}[/mm]
Jetzt meine Frage: Dieses Überlegungen sind doch korrekt, oder?
Der Fehler meiner Seits lag doch in der Begrifflichkeit des Begriffes "Kantenlänge", oder?![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich hoffe, mir kein Jemand helfen!
Mit den besten (Nachmittags-) Grüßen
Goldener Schnitt
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Hallo Goldener Schnitt!
> Mit folgender Formel habe ich die, wenn man so will, die
> "gesamte Kantenlänge", oder die Summe der einzelen
> Kantenlängen brechnet!
> Daher habe ich wohl ein wahrschenlich falsches Verständnis
> für diesen Begirff gehabt, was mir leid tut!
Es ist halt zeimlich ungewöhnlich die Länge der Raumdiagonale mittels der Summe aller Kantenlängen und umgekehrt zu bestimmen bzw. anzugeben.
Aber nicht ausgeschlossen, wie Du ja zeigst ...
> Ich begründe dann ihre Richtigkeit so:
> [mm]d_{Raum.Quad.}=a^2+b^2+c^2[/mm]
Hier fehlt bei [mm] $d_{\text{Raum...}}$ [/mm] ein Quadrat ("hoch 2"):
[mm]d_{Raum.Quad.}^{\red{2}} \ = \ a^2+b^2+c^2[/mm]
> [mm]a:=a=b=c[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]d_{Raum.Quad.}=a^2+a^2+a^2=3a^2[/mm]
Wie oben ...
> [mm]\gdw[/mm] [mm]d_{Raum.Quad.}=\wurzel{3}a[/mm]
...
> [mm]\gdw[/mm] [mm]K_{Wuerfel.\red{gesamt}}=\wurzel{3}*4*d_{Raum.Quad.}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig gerechnet!
> Der Fehler meiner Seits lag doch in der Begrifflichkeit
> des Begriffes "Kantenlänge", oder?
Du hast halt die Summe aller Kantenlängen interpretiert. Normalerweise ist damit aber lediglich eine einzelne Länge einer Kante gemeint.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!!!
...und einen schönen Tag!
Ich wollte dir ersteinmal für die nette Antwort danken!
Echt nett!
Du sagst, dies sei üngewöhnlich. Das ist gut möglich, wusste ich nur bisher nicht. Ich habe mir, als die Aufgabe dieses Atikels gesehen habe, einfach mal eine Formel zusammengebastelt, die in Abhänigkeit der Raumdiagonale die Summe aller Kantenlängen des Würfels "berechnet". Aber aus ihr erkennt man ja auch noch, wie die Raumdiegonale von den Kantenlängen abhängt...
[mm]d_{Raumdiagonale}=\left \bruch{\wurzel{3}*K_{Wuerfel.gesamt}}{12} \right[/mm]
...wirklich eine Abhänigkeit, nach der keiner fragt!
Naja trotzdem DANKE!
Achja, den Fehler hab ich verbessert![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") .
Mit den besten (Nachmittags-) Grüßen
Goldener Schnitt
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
diesem![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]"){kind=small}
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
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