Q-lineare Abb. zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 03.08.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | In welchem der folgenden Fälle gibt es eine [mm] \IQ [/mm] -lineare Abb.
f: [mm] \IQ^3 \to \IQ^3 [/mm] mit
f( [mm] a_{1}= b_{1}, [/mm] f( [mm] a_{2}= b_{2} [/mm] und f( [mm] a_{3}= b_{3}. [/mm] wenn
(a)
[mm] a_{1}=(0,0,0), a_{2}=(-1,2,0), a_{3}=(1,1,0) [/mm] und
[mm] b_{1}=(1,1,0), b_{2}= [/mm] (0,0,1), [mm] b_{3}=(0,1,2).
[/mm]
(b)
[mm] a_{1}=(1,1,-1), a_{2}= [/mm] (2,1,-1), [mm] a_{3}= [/mm] (1,-1,2) und
[mm] b_{1}= [/mm] (0,0,0), [mm] b_{2}= [/mm] (-1,0,1), [mm] b_{2}= [/mm] (0,1,2)
Im Falle der Existenz betsimme man jew. die Koord.-Matrix einer derart. Abb. f bzgl. der kan. geordneten Basis
B:= (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) des [mm] \IQ^3
[/mm]
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Hallo
Ich benötige zunächst mal einen Ansatz. Was genau ist denn verlangt?
Die Def. einer Q-lin Abb. ist doch nichts anderes, als die Linearität in diesem Fall, oder?
Da müsste es doch zunächst genügen, nachzuweisen, dass die Vektoren bzw. die Bilder jeweils eine Basis bilden (lin. unabh. sind), oder liege ich völlig daneben?
Vielen Dank und Gruß
Nebenbei: Kann mir jemand ein gutes Übungsbuch für die LA2 und die analytische Geom. empfehlen? Ich muss mich auf die Nachklausuren vorbereiten.
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Hallo
nein, du liegst nicht völlig falsch; allerdings machst du dir das Leben noch unnötig schwer.
Jede lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab. Also ist in Beispiel a) [mm] f(a_1)=b_1 [/mm] nicht möglich.
Im Fall b) bilden die die [mm] a_i [/mm] eine Basis. Hier kannst du die Bilder beliebig vorschreiben und es existiert eine lineare Abbildung mit [mm] f(a_i)=b_i. [/mm] Du musst also nicht überprüfen, ob die [mm] b_i [/mm] eine Basis bilden, es muss ja kein Isomorphismus sein!
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Fr 03.08.2007 | | Autor: | matt57 |
Danke sehr!
... und jetzt zum zweiten Teil:
Dann schreibe ich die b-Vektoren als Linearkombination der kan. Basisvektoren...
Die Koeffizienten, als Spalte geschrieben, ergeben dann meine Koord.-matrix der Abb. f bzgl. B
- richtig, oder habe ich da noch 'was vergessen?
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