QM: Aufenthaltswahrscheinlich. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 So 11.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich soll die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Wasserstoffatom am Ort [mm] r>r_m [/mm] berechnen.
Laut demtröder ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in [mm] [x_1,x_2] [/mm] definiert als:
P = [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{|\Psi(x)|^2 dx}
[/mm]
also sollte ich berechnen:
P = [mm] \integral_{r_m}^{\infty}{|\Psi(r,\theta,\phi)|^2 dr}
[/mm]
In der Musterlösung des Assistenten steht aber:
Für den Erwartungswert von r geht nur die Radialkomponente [mm] R_{1,0} [/mm] der Wellenfunktion ein:
[mm] R_{1,0}=N\cdot e^{-\frac{Zr}{a_0 n}}=Ne^{-\frac{r}{a_0}}=\Psi(r)=\Psi(r)^\*
[/mm]
Für die Wahrscheinlichkeit gilt:
[mm] P(r>r_m)=\frac{\integral_{r_m}^{\infty}{\Psi(r)^\* \cdot r \cdot \Psi(r) \cdot r dr}}{\integral_{0}^{\infty}{\Psi(r)^\* \cdot \Psi(r) \cdot r^2 dr}}
[/mm]
=...
und dann eben ausgerechnet.
Mir stellen sich folgende Fragen:
1)
Wenn ich die Winkelanteile weglasse, also nur [mm] \Psi(r) [/mm] anstatt [mm] \Psi(r,\theta,\phi) [/mm] benutze, dann fällt doch auch im Endergebnis eine Proportionalitätskonstante weg. Diese ist ja nicht unwichtig. Ich meine: Ob ich jetzt beispielsweise eine Wahrscheinlichkeit von [mm] $1\cdot 20\%$ [/mm] oder [mm] $2\cdot 20\%$ [/mm] habe ist ja ein Unterschied.
2)Warum wird in der Musterlösung ein Verhältnis zweier Erwartungswerte anstatt
P = [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{|\Psi(x)|^2 dx} [/mm] berechnet?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 So 11.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo rutzel
Durch die Division fallen alle Normierungsfaktoren, die evt, durch die winkelint reinkommen weg. damit sind beide Fragen beantwortet,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 11.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hi,
aber warum ist die Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte und die Division zweier Erwartungswerte gleichwertig?
Immerhin taucht ja beim Erwartungswert noch ein [mm] r^2 [/mm] im Integrand auf, bei der Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte hat man nur das Quadrat des Betrages der Psi-Wellen-Funktion.
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 12.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das [mm] r^2 [/mm] kommt von der Integration über die Winkel [mm] r*d\phi*r\sin\phi*d\theta. [/mm] Die Integrationswerte (irgedwelche [mm] \pi [/mm] ) fallen durch die Division weg.
gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:27 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hi Leduart,
danke für Deine Antwort.
Könntest Du es mir etwas ausführlicher erklären?
1)
Warum ist die Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte und die Division zweier Erwartungswerte gleichwertig?
2) Was meinst du mit "das $ [mm] r^2 [/mm] $ kommt von der Integration über die Winkel $ [mm] rdphi\cdot{}rsin\phid\theta. [/mm] $"?
Immerhin steht in der Musterlösung ja, dass nur der Radialteil von Bedeutung sei. Woher kommen dann die Winkelanteile beim Integrieren?
Gruß,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mo 19.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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