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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 28.11.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Warum Multiplikation von LINKS? |
Hi Leute!
Wie ihr sicherlich wisst, ist die QR-Methode eine gute und stabile, aber rechenaufwändige Methode zur Berechnung von linearen überbestimmten GLS in der Form: [mm] $B\vec{x}=\vec{b}$.
[/mm]
Hier ersetzt man ja nun Matrix "B" durch die QR-Zerlegung von B. Es steht nun in meinem Skript, dass die Matrix Q als Produkt einer orthogonalen [mm] M$\times$M-Matrix [/mm] Q [mm] ($Q^{-1} [/mm] = [mm] Q^T$) [/mm] und einer oberen Dreiecksmatrix R gebildet wird.
1. Frage: Warum gilt bei orthogonalen Matrizen, wie z.B. hier, folgendes: [mm] $Q^{-1} [/mm] = [mm] Q^T$? [/mm] Ich hab mir eine orthogonale Matrix Q in Matlab zur inversen sowie in die transponierte Form umformen lassen und dann voneinander abgezogen. Ich habe mir da ehrlich gesagt, dann das neutrale Element, also die Einheitsmatrix erwartet was aber nicht rausgekommen ist. Könnt ihr mir sagen wieso?
Wenn man nun Matrix "B" durch die QR-Zerlegung von B ersetzt hat sieht das dann so aus: $B=QR [mm] \Rightarrow QR\vec{x}=\vec{c}$. [/mm] In meinem Skript steht nun, dass mit Multiplikation der inversen von Q, also [mm] $Q^{-1}$, [/mm] VON LINKS [mm] $R\vec{x} [/mm] = [mm] Q^{-1}\vec{c}$ [/mm] folgt. Ich verstehe nicht warum das "von links multiplizieren" so wichtig ist! Könnt ihr mir sagen warum?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Warum Multiplikation von LINKS?
> Hi Leute!
>
> Wie ihr sicherlich wisst, ist die QR-Methode eine gute und
> stabile, aber rechenaufwändige Methode zur Berechnung von
> linearen überbestimmten GLS in der Form:
> [mm]B\vec{x}=\vec{b}[/mm].
>
> Hier ersetzt man ja nun Matrix "B" durch die QR-Zerlegung
> von B. Es steht nun in meinem Skript, dass die Matrix Q als
> Produkt einer orthogonalen M[mm]\times[/mm]M-Matrix Q ([mm]Q^{-1} = Q^T[/mm])
> und einer oberen Dreiecksmatrix R gebildet wird.
>
> 1. Frage: Warum gilt bei orthogonalen Matrizen, wie z.B.
> hier, folgendes: [mm]Q^{-1} = Q^T[/mm]? Ich hab mir eine orthogonale
> Matrix Q in Matlab zur inversen sowie in die transponierte
> Form umformen lassen und dann voneinander abgezogen. Ich
> habe mir da ehrlich gesagt, dann das neutrale Element, also
> die Einheitsmatrix erwartet was aber nicht rausgekommen
> ist. Könnt ihr mir sagen wieso?
>
Du hast also eine orthogonale Matrix Q und hast gebildet:
[mm] Q^{-1}-Q^T.
[/mm]
Klar, liefert das nicht die Einheitsmatrix. Es ist [mm] Q^{-1}-Q^T=0, [/mm] denn nach Definition (!) heißt Q ortogonal, wenn
[mm] Q*Q^T=Einheitsmatrix [/mm]
ist.
>
>
>
> Wenn man nun Matrix "B" durch die QR-Zerlegung von B
> ersetzt hat sieht das dann so aus: [mm]B=QR \Rightarrow QR\vec{x}=\vec{c}[/mm].
> In meinem Skript steht nun, dass mit Multiplikation der
> inversen von Q, also [mm]Q^{-1}[/mm], VON LINKS [mm]R\vec{x} = Q^{-1}\vec{c}[/mm]
> folgt. Ich verstehe nicht warum das "von links
> multiplizieren" so wichtig ist! Könnt ihr mir sagen
> warum?
Multipliziere doch mal von rechts. Hast Du da irgendwas gewonnen ?
FRED
>
>
>
> Danke für eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 29.11.2011 | | Autor: | bandchef |
So, erstmal danke für deine Antwort!
Ich arbeite mit Matlab wie ich ja schon erwähnt habe. Dazu hab ich nun noch einige Fragen.
Ich hab mir eine ganzzahl 5x5-Matrix erstellen lassen. Die hab ich in Q und R zerlegen lassen. Dann hab ich die die inverse Matrix [mm] $Q^{-1}$ [/mm] mit der eigentlichen Matrix Q von links multiplizieren lassen. Ich verstehe aber nun noch immer nicht, warum ich unbedingt von links multiplizieren soll. Ich bekomme in beiden Fällen die Einheitsmatrix raus. Ich kopier die Beispiele rein:
| 1: |
| | 2: | >> Q*inv(Q)
| | 3: |
| | 4: | ans =
| | 5: |
| | 6: | 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
| | 7: | -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
| | 8: | -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000
| | 9: | -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000
| | 10: | -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
| | 11: |
| | 12: |
| | 13: | >> inv(Q)*Q
| | 14: |
| | 15: | ans =
| | 16: |
| | 17: | 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000
| | 18: | -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0
| | 19: | 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000
| | 20: | 0.0000 0 0.0000 1.0000 -0.0000
| | 21: | 0 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
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Wie man sehen kann, unterscheiden sich die beiden Multiplikationen nur in diversen glatten Nullen. Ist das dann hier wirklich so entscheidend?
Was mir in diesem Beispiel auch noch nicht so ganz klar ist, warum ich hier ausgehen darf, dass [mm] $Q^{-1} [/mm] = [mm] Q^T$ [/mm] gilt. Ich mein die inverse einer Matrix ist doch eigentlich was anderes als die Transponierte einer Matrix, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> So, erstmal danke für deine Antwort!
>
> Ich arbeite mit Matlab wie ich ja schon erwähnt habe. Dazu
> hab ich nun noch einige Fragen.
>
> Ich hab mir eine ganzzahl 5x5-Matrix erstellen lassen. Die
> hab ich in Q und R zerlegen lassen. Dann hab ich die die
> inverse Matrix [mm]Q^{-1}[/mm] mit der eigentlichen Matrix Q von
> links multiplizieren lassen. Ich verstehe aber nun noch
> immer nicht, warum ich unbedingt von links multiplizieren
> soll. Ich bekomme in beiden Fällen die Einheitsmatrix
> raus.
Ich glaube es nicht ....... !
1. Oben hattest Du QRx=c und hast gefragt, warum man von links multipliziert, um zu [mm] Rx=Q^{-1}c [/mm] zu kommen.
2. Jetzt fragst Du warum Du unbedingt von links multiplizieren mußt , um [mm] Q^{-1}Q= [/mm] Einheitsmatrix zu erhalten.
Das sibd doch völlig unterschiedliche Ausgangssituationen !!
Du scheinst nicht begriffen zu habe, dass für jede invertierbare Matrix A gilt:
[mm] AA^{-1}=A^{-1}A= [/mm] Einheitsmatrix.
> Ich kopier die Beispiele rein:
>
> | 1: |
| | 2: | > >> Q*inv(Q)
| | 3: | >
| | 4: | > ans =
| | 5: | >
| | 6: | > 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
| | 7: | > -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000
| | 8: | > -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000
| | 9: | > -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000
| | 10: | > -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
| | 11: | >
| | 12: | >
| | 13: | > >> inv(Q)*Q
| | 14: | >
| | 15: | > ans =
| | 16: | >
| | 17: | > 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000
| | 18: | > -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0
| | 19: | > 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000
| | 20: | > 0.0000 0 0.0000 1.0000 -0.0000
| | 21: | > 0 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
| | 22: | > |
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> Wie man sehen kann, unterscheiden sich die beiden
> Multiplikationen nur in diversen glatten Nullen. Ist das
> dann hier wirklich so entscheidend?
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> Was mir in diesem Beispiel auch noch nicht so ganz klar
> ist, warum ich hier ausgehen darf, dass [mm]Q^{-1} = Q^T[/mm] gilt.
> Ich mein die inverse einer Matrix ist doch eigentlich was
> anderes als die Transponierte einer Matrix, oder?
Das hab ich Dir doch oben schon gesagt, das i.a. [mm]Q^{-1} \ne Q^T[/mm] ist.
Für eine orthogonale Matrix Q gilt: [mm]Q^{-1} = Q^T[/mm] , und zwar deswegen, weil der Begriff "orthogonal" so , definiert (!) ist.
Nicht jeder Mensch ist weiblich, Frauen schon.
Ebenso: nicht jedes Matrix ist orthogonal, orthogonale schon.
FRED
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