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Bei der Ermittlung der QR-Zerlegung mit Gram-Schmidtschem Orthogonalisierungsvervahren taucht bei mir ständig das gleiche Problem auf, nämlich: bei A = QR muss man ja zunächst Q bestimmen, eben mit dem verfahren, das klappt auch ganz prima, alles schön orthonormal... und dann soll es aber eine Dreiecksmatrix R geben, für die A =QR gilt. Ich habe ja Q und A, und sollte doch dann mit R = [mm] AQ^{-1} [/mm] auf R kommen, oder nicht? das klappt aber nie. woran kann das liegen?
Könnte das sein, wenn die Nenner der Elemente von Q nicht gleich sind?
Bitte um Hilfe
danke und liebe Grüße
die Nuss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mo 12.01.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> Bei der Ermittlung der QR-Zerlegung mit Gram-Schmidtschem
> Orthogonalisierungsvervahren taucht bei mir ständig das
> gleiche Problem auf, nämlich: bei A = QR muss man ja
> zunächst Q bestimmen, eben mit dem verfahren, das klappt
> auch ganz prima, alles schön orthonormal... und dann soll
> es aber eine Dreiecksmatrix R geben, für die A =QR gilt.
> Ich habe ja Q und A, und sollte doch dann mit R = [mm]AQ^{-1}[/mm]
> auf R kommen, oder nicht? das klappt aber nie. woran kann
> das liegen?
Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ! Das heißt iA gilt [mm] $A\cdot B\neq B\cdot [/mm] A$. Folglich ist es ein Unterschied, ob du [mm] $Q^{-1}$ [/mm] von links oder von rechts multiplizierst. Für deine Gleichung heißt das:
$A = QR$ | [mm] $\cdot Q^{-1}$ [/mm] von links
[mm] $Q^{-1}A [/mm] = [mm] Q^{-1}QR$
[/mm]
[mm] $Q^{-1}A [/mm] = R$,
also ist $R = [mm] Q^{-1}A$. [/mm] Zum Vergleich die Multiplikation von rechts
$A = QR$ | [mm] $\cdot Q^{-1}$ [/mm] von rechts
[mm] $AQ^{-1} [/mm] = [mm] QRQ^{-1} \neq [/mm] R$ iA.
> Könnte das sein, wenn die Nenner der Elemente von Q nicht
> gleich sind?
Nein. $R = [mm] Q^{-1}A$ [/mm] muss immer gelten, sofern Q invertierbar ist.
> Bitte um Hilfe
Gruß, zetamy
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Ahhhhh *Erleuchtung* dummer Fehler, hätt ich wissen können :D -.-
tausend Dank für die Hilfestellung =)
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