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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 So 13.05.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | | Sei A=QR eine QR-Zerlegung der (m [mm] \times [/mm] n)-Matrix A mit [mm] r_{11} \ge r_{22} \ge [/mm] ... [mm] \ge r_{nn} \ge [/mm] 0. Zeige, dass rang(A)=rang(R) ist. Wie kann man den Rang von A direkt von R ablesen? |
Nun ich weiss so viel:
Die QR-Zerlegung wird folgendermassen definiert:
[mm] A=Q*\vektor{R \\ 0}
[/mm]
dabei ist R [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix mit [mm] r_{ii}>0 [/mm] und Q ist eine orthogonale Matrix mit [mm] Q^T*Q=I [/mm] (I=Einheitsmatrix).
Nun der Rang einer Matrix entspricht ja der maximalen Anzahl an linear unabhängigen Spalten.
rang(A)=rang(R)?
Und wie kann ich denn das nun beweisen?
Und wie direkt ablesen?
Vielen Dank schonmal für Hilfe.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 13.05.2012 | | Autor: | unibasel |
Niemand eine Idee vielleicht? :)
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Die Matrix Q ist eine orthogonale Matrix (also invertierbar).
Damit ist direkt
[mm]\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(R)=|\{r_{ii}>0\quad | \quad i=1,\ldots,n\}|[/mm]
Rang einer Matrix ist die Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwerten.
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