Q nicht zusammenhängend < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist [mm] \IQ \subseteq \IR [/mm] zusammenhängend? |
Hallo!
Ich hab im Beweis eine Sache nicht verstanden.
Zusammenhängend bedeutet, dass es keine disjunkte Vereinigung von [mm] X=\IQ=U \cup [/mm] V mit U,V nicht leer und offen gibt.
Jetzt sind im Beweis [mm] U=\{x\in \IR;x>\wurzel{2} \} [/mm] und [mm] V=\{x\in\IR;x<\wurzel{2}\}
[/mm]
Soweit, so gut. Also U und V sind nicht leer und beide offen, aber warum gilt [mm] \IQ=U\cup [/mm] V?
U ist ja das Intervall (- [mm] \infty,\wurzel{2}) [/mm] und [mm] V=(\wurzel{2},\infty) [/mm] und wenn man diese Intervalle vereinigt, dann bekommt man ganz [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \wurzel{2}. [/mm] Aber in der Vereinigung liegt doch auch [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] ist ja nicht rational. Irgendwie überseh ich was oder ich versteh was falsch.
Kann mir bitte einer einen Denkanstoß geben?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TheBozz-mismo,
> Ich hab im Beweis eine Sache nicht verstanden.
> Zusammenhängend bedeutet, dass es keine disjunkte
> Vereinigung von [mm]X=\IQ=U \cup[/mm] V mit U,V nicht leer und offen
> gibt.
> Jetzt sind im Beweis [mm]U=\{x\in \IR;x>\wurzel{2} \}[/mm] und
> [mm]V=\{x\in\IR;x<\wurzel{2}\}[/mm]
Nennen wir diese Mengen lieber U' und V'.
> Soweit, so gut. Also U und V sind nicht leer und beide
> offen, aber warum gilt [mm]\IQ=U\cup V[/mm] ?
Wähle [mm] $U:=U'\cap\IQ$ [/mm] und [mm] $V:=V'\cap\IQ$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo TheBozz-mismo,
Damit ist [mm] $U=\{x\in\IQ\colon x<\sqrt 2\}$ [/mm] und [mm] $V=\{x\in\IQ\colon \sqrt 2 < x\}$. [/mm] Keine dieser Mengen ist offen in [mm] \IR, [/mm] aber beide sind offen in [mm] $\IQ$. [/mm] Und dies reicht, um zu zeigen, daß [mm] $\IQ$ [/mm] nicht zusammenhängend ist.
Gruß,
Wolfgang
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