Quadr. Funktionen, Parabeln < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Di 19.06.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Gegeben sind die Parabeln F und G mit den Funktionsgleichungen
$f(x) = - [mm] \bruch{x²}{4} [/mm] + 3$ und $g(x) = [mm] \bruch{x²}{8} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4}x [/mm] + b$
1.1 Für welche Werte von b gibt es nur einen einzigen gemeinsamen Punkt B (Berührpunkt) der beiden Parabeln?
1.1.1 Wie lautet die [mm] $x_B-Koordinate$ [/mm] dieses Punktes B?
1.1.2 Wie lautet die [mm] $y_B-Koordinate$ [/mm] dieses Punktes B?
1.1.3 Durch den Punkt [mm] $(-\bruch{2}{3}|\bruch{26}{9})$ [/mm] verläuft eine gemeinsame Tangente T. Wie lautet ihre Funktionsgleichung t(x)?
1.1.4 Zeichnen Sie die Parabeln F im Bereich von -4 bis 5 und G im Bereich -4 bis 10 sowie die Tangente T im Bereich -4 bis 10 auf einem eigenen DIN-A-Blatt im Maßstab 1 Längeneinheit = 1cm. |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösung, nur bei der 1.1.4 komm ich nicht weiter, die Parabeln F und G dürften nur einen gemeinsamen Punk haben und zwar bei 67/24 aber die schneiden sich zweimal. Wo liegt dann der Fehler bei der Berechnung? Außerdem wenn ich es selber zeichnen will, klappt es nicht. Ich habe mir eine x²/4 und x²/8 Schablone angefertigt. Somit müsste ich doch nur noch 2 Punkte wissen und dann die Schablone anlegen? Ich setzte also die x-Werte ein und erhalte die y-Werte. Die Werte stimmen aber anscheinend nicht, sie liegen nicht richtig, somit kann ich mit der Schablone nicht die Parabeln zeichnen. Wo liegt da der Fehler? Vielen Dank im Voraus.
1.1
f(x) = g(x)
$- [mm] \bruch{x²}{4} [/mm] + 3$ = $g(x) = [mm] \bruch{x²}{8} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4}x [/mm] + b$ | *8
-2x²+21 = x²+4x+8b
-3x²-4x+21-8b=0 | *(-1)
3x²+4x-21+8b=0
$b1,2 = [mm] \bruch{-4 plus/minus \wurzel{16-4*3(-21+8b)}}{6}$
[/mm]
wenn nur ein Berührpunkt, dann 16-4*3(-21+8b)=0
16-12(-21+8b)=0
16+252-96b=0
-96b= -268
$b= [mm] \bruch{67}{24}$
[/mm]
1.1.1
[mm] $3x²+4x-21+8*\bruch{67}{24}=0$
[/mm]
[mm] $3x²+4x+\bruch{4}{3}=0$
[/mm]
xB = $x1,2 = [mm] \bruch{-4 plus/minus \wurzel{16-12*\bruch{4}{3}}}{6}$ [/mm] = [mm] \bruch{-4 plus/minus 0}{6} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}
[/mm]
1.1.2
$yB = [mm] f(-\bruch{2}{3}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{3}{1} [/mm] = [mm] \bruch{26}{9}$
[/mm]
1.1.3
f(x) = t(x)
$- [mm] \bruch{x²}{4} [/mm] + 3$ = a*x + b | *4
-x² + 12 = 4ax + 4b | *(-1)
x² - 12 = -4ax - 4b
x² + 4ax -12 +4b = 0
$x1,2 = [mm] \bruch{-4a plus/minus \wurzel{16a²-4*(-12+4b)}}{2}$
[/mm]
wenn nur ein gemeinsamer Punkt, dann 16a²-4(-12+4b)=0
16a²+46-16b=0
[mm] $t(-\bruch{2}{3}) [/mm] = [mm] \bruch{26}{9} [/mm] -> a * [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] + b = [mm] \bruch{26}{9} [/mm] -> b = [mm] \bruch{26}{9} [/mm] - a [mm] *(-\bruch{2}{3})$
[/mm]
16a² + 48 - 16 [mm] (\bruch{26}{9}-a*(-\bruch{2}{3})) [/mm] = 0
16a² + 48 - [mm] \bruch{416}{9} -\bruch{32}{3}a [/mm] = 0
wenn dieser Weg weitergeführt wird und in die Mondscheinformel eingesetzt wird, kommt raus: $t(x) = [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] + 3$
1.1.4
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> 1. Gegeben sind die Parabeln F und G mit den
> Funktionsgleichungen
>
> [mm]f(x) = - \bruch{x²}{4} + 3[/mm] und [mm]g(x) = \bruch{x²}{8} + \bruch{2}{4}x + b[/mm]
>
> 1.1 Für welche Werte von b gibt es nur einen einzigen
> gemeinsamen Punkt B (Berührpunkt) der beiden Parabeln?
>
> 1.1.1 Wie lautet die [mm]x_B-Koordinate[/mm] dieses Punktes B?
>
> 1.1.2 Wie lautet die [mm]y_B-Koordinate[/mm] dieses Punktes B?
>
> 1.1.3 Durch den Punkt [mm](-\bruch{2}{3}|\bruch{26}{9})[/mm]
> verläuft eine gemeinsame Tangente T. Wie lautet ihre
> Funktionsgleichung t(x)?
>
> 1.1.4 Zeichnen Sie die Parabeln F im Bereich von -4 bis 5
> und G im Bereich -4 bis 10 sowie die Tangente T im Bereich
> -4 bis 10 auf einem eigenen DIN-A-Blatt im Maßstab 1
> Längeneinheit = 1cm.
> Hallo Zusammen,
>
> hier meine Lösung, nur bei der 1.1.4 komm ich nicht weiter,
> die Parabeln F und G dürften nur einen gemeinsamen Punk
> haben und zwar bei 67/24 aber die schneiden sich zweimal.
> Wo liegt dann der Fehler bei der Berechnung? Außerdem wenn
> ich es selber zeichnen will, klappt es nicht. Ich habe mir
> eine x²/4 und x²/8 Schablone angefertigt. Somit müsste ich
> doch nur noch 2 Punkte wissen und dann die Schablone
> anlegen? Ich setzte also die x-Werte ein und erhalte die
> y-Werte. Die Werte stimmen aber anscheinend nicht, sie
> liegen nicht richtig, somit kann ich mit der Schablone
> nicht die Parabeln zeichnen. Wo liegt da der Fehler? Vielen
> Dank im Voraus.
>
> 1.1
>
> f(x) = g(x)
> [mm]- \bruch{x²}{4} + 3[/mm] = [mm]g(x) = \bruch{x²}{8} + \bruch{2}{4}x + b[/mm]
> | *8
>
> -2x²+24 = x²+4x+8b <--------- 3*8=24
> -3x²-4x+24-8b=0 | *(-1)
> 3x²+4x-24+8b=0
>
> [mm]x_1,2 = \bruch{-4\pm\wurzel{16-4*3(-24+8b)}}{6}[/mm]
>
> wenn nur ein Berührpunkt, dann 16-4*3(-24+8b)=0
>
> 16-12(-24+8b)=0
> 16+288-96b=0
> -96b= -268
> [mm]b= \bruch{67}{24}[/mm] <----- falsch
>
Das ergibt dann [mm] $b=\bruch{19}{6}=3\bruch{1}{6}$
[/mm]
> 1.1.1
>
> [mm]3x²+4x-24+8*3\bruch{1}{6}=0[/mm] <---- korrigiert
> [mm]3x²+4x+\bruch{4}{3}=0[/mm]
>
Hier kommt bei dir zufällig das richtige raus, obwohl du einen falschen $b$-Wert hattest
> xB = [mm]x1,2 = \bruch{-4 \pm \wurzel{16-12*\bruch{4}{3}}}{6}[/mm]
> = [mm]\bruch{-4 \pm 0}{6}[/mm] = [mm]-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> 1.1.2
>
> [mm]yB = f(-\bruch{2}{3}) = -\bruch{1}{9} + \bruch{3}{1} = \bruch{26}{9}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1.1.3
>
> f(x) = t(x)
>
> [mm]- \bruch{x²}{4} + 3[/mm] = a*x + b | *4
>
> -x² + 12 = 4ax + 4b | *(-1)
> x² - 12 = -4ax - 4b
> x² + 4ax -12 +4b = 0
>
> [mm]x1,2 = \bruch{-4a \pm \wurzel{16a²-4*(-12+4b)}}{2}[/mm]<------ -4*-12=48
>
> wenn nur ein gemeinsamer Punkt, dann 16a²-4(-12+4b)=0
>
> 16a²+48-16b=0
> [mm]t(-\bruch{2}{3}) = \bruch{26}{9} -> a * -\bruch{2}{3} + b = \bruch{26}{9} -> b = \bruch{26}{9} - a *(-\bruch{2}{3})[/mm]
>
> 16a² + 48 - 16 [mm](\bruch{26}{9}-a*(-\bruch{2}{3}))[/mm] = 0
>
> 16a² + 48 - [mm]\bruch{416}{9} -\bruch{32}{3}a[/mm] = 0
>
> wenn dieser Weg weitergeführt wird und in die
> Mondscheinformel eingesetzt wird, kommt raus: [mm]t(x) = \bruch{1}{3}x + 3\bruch{1}{9}[/mm] kleiner Rechenfehler beim y-Achsenabschnitt, sonst
>
> 1.1.4
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \
[/mm]
Du hast anscheinend die falschen Parabeln gezeichnet. Achte darauf, dass du die Ausgangsgleichungen benutzt sowie den richtigen Wert für b.
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 19.06.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke für die Antwort. Jetzt passt es mit den beiden Parabeln, sie schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Bei der Tangente war auch noch ein Leichtsinnsfehler und zwar kriegt man für a = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
-> [mm] $\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (-\bruch{2}{3}) [/mm] + b = [mm] \bruch{26}{9} [/mm] -> b = [mm] \bruch{28}{9}$
[/mm]
Die Zeichnung passt nun:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe folgende Funktionsgleichungen hergenommen:
f(x)=-x²/4+3
g(x)=x²/8+2/4x+19/6
t(x)=1/3x+28/9
aber wenn ich dies von Hand rechne und zeichnen will, klappt es einfach nicht. Könnte mir jemand kurz zwei Werte für x = -5 und +5 worrechnen? dann kann ich mit meiner Schablone dies dort anlegen und die Parabeln und Gerade zeichnen. Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Di 19.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Bei dem Parabeln gibt es mit der Schablone ein Problem. Diese sind nämlich gestaucht. Also ist es dort Sinnvoller, markante Punkte zu berechnen, ich würde die Nullstellen, und den y-Achsenabschnitt wählen. Ausserdem liegt ja der Scheitel genau zwischen den Nullstellen, so dass man auch ihn relativ licht berechnen kann.
Und für die Gerade: Nimm doch die einfachsten Punkte, also g(1) und g(0)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 19.06.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich hab mir eine Schablone mit x²/4 und x²/8 gemacht. Somit müsste ich eigentlich nur zwei Punkte bestimmen und die Schablone anlegen. Aber irgendwie geht es nicht. Habe zur Sicherheit 3 Punkte bestimmt, damit kann man ja eindeutig eine Parabel zeichnen. Nur hab ich in der Prüfung nicht viel Zeit und deswegen hab ich mir die Schablonen gemacht. Wo mache ich da dann einen Fehler. Ich nehm den x-Wert setze den in die obengenannten Funktionsgleichungen ein und errechne den y-Wert. Das ganze zweimal und dann die Schablone, aber es passt nicht ganz. Die Parabelschablonen passen nicht zu den errechneten Punkten. Woran liegt dies, die Schablonen hab ich extra angefertigt. Ich hab auch schon überprüft ob diese falsch sind. Die passen aber hundertprozentig.
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> Die Parabelschablonen
> passen nicht zu den errechneten Punkten. Woran liegt dies,
> die Schablonen hab ich extra angefertigt. Ich hab auch
> schon überprüft ob diese falsch sind. Die passen aber
> hundertprozentig.
Irgendwie widersprichst du dir da aber. Entweder die Schablonen sind korrekt oder sie sind es nicht.
Vorausgesetzt, dass sie korrekt sind, dann müssen sie natürlich für alle Parabeln mit z.B. [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] passen.
Nimmst du denn immer den gleichen Maßstab beim Koordinatenkreuz (1 Einheit= 1 cm)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Di 19.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Bei g(x) hast du außer den [mm] \bruch{x^{2}}{8} [/mm] ja auch noch die [mm] \bruch{2}{4}*x. [/mm]
Da geht dann natürlich nicht die [mm] \bruch{x^{2}}{8}-Schablone, [/mm] weil ja noch ein weiterer Wert mit x dazukommt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Di 19.06.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich hab es nochmal überprüft hab in x²/4 die x-Werte eingesetzt und somit die y-Werte erhalten und dann die Schablone angelegt und es passt und bei x²/8 auch. Daran kann es nicht liegen, die Maßeinheit ist überall 1cm. Kann es bei x²/4 daran liegen, dass ich hierbei noch die +3 rechne, dies ja der Schnittpunkt mit der y-Achse. Aber eigentlich auch nicht, weil dadruch die Parabel nur nach oben und unten verschoben wird, aber nicht gestaucht oder gestreckt wird. Es passt genau um 0,5 cm nicht. Weiß vielleicht noch jemand was, woran es liegen könnte? Vielen Dank für eure Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Di 19.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Füg doch mal deine Skizze ein, ich vermute fast, du hast dich bei der Achseneinteilung einmal "verhauen".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Do 21.06.2007 | | Autor: | itse |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | 1. Gegeben sind die Parabeln A und B mit den Funktionsgleichungen
$a(x) = \bruch{x²}{4} + 2$ und $b(x)= -\bruch{x²}{8} - \bruch{4}{2}x + g$
1.1 Für welche Werte von g gibt es nur einen einzigen gemeinsamen Punkt C (Berührpunkt) der beiden Parabeln?
1.1.2 Wie lautet die xB-Koordinate dieses Punktes C?
1.1.3 Wie lautet die yB-Koordinate dieses Punkts C?
1.1.4 Durch den Punkt C verläuft eine gemeinsame Tangente Z. Wie lautet Ihre Funktionsgleichung z(x)? |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösung, passt das so? Vielen Dank im Voraus.
1.1
a(x) = b(x)
$\bruch{x²}{4} + 2 -\bruch{x²}{8} - \bruch{4}{2}x + g | *8$
2x²+16 = -x²+16x+8g
3x²+16x+16-8g=0
$g1,2 = \bruch{-16 \pm \wurzel{256-4*3(16-8g)}}{2*3}$
wenn nur ein gemeinsamer Punkt C, dann 256-12(16-8g)=0
256-192+96g=0
96g=-64
$g= -\bruch{64}{96} = -\bruch{2}{3}$
1.1.1
$3x²+16x+16-8*(-\bruch{2}{3})=0$
$3x²+16x+16+\bruch{16}{3}=0$
$3x²+16x+\bruch{64}{3}=0$
$xg1,2 = \bruch{-16 \pm \wurzel{256-4*3*\bruch{64}{3}}{2*3}$
$= \bruch{-16 \pm 0}{6} = -\bruch{16}{6} = -\bruch{8}{3}$
1.1.2
$yg = a(-\bruch{8}{3} = -\bruch{8}{3}²/4 + 2 = \bruch{16}{9} + 2 = \bruch{34}{9}$
1.1.3
a(x) = z(x)
$\bruch{x²}{4} + 2 = a*x + b |*4$
x²+8=4ax+4b
x²-4ax+8-4b=0
$z1,2 = \bruch{4a \pm \wurzel{16a²-4(8-4b)}{2}$
wenn nur ein gemeinsamer Punkt, dann 16a²-4(8-4b)=0
16a²-32+16b=0
$z(-\bruch{8}{3} = \bruch{34}{9} -> a*(-\bruch{8}{3}) + b = \bruch{34}{9} -> b = \bruch{34}{9} - a * (-\bruch{8}{3})$
$16a²-32+16*(\bruch{34}{9} + \bruch{8}{3}a)=0$
$16a²-32+\bruch{544}{9} + \bruch{128}{3}a=0$
$16a² + \bruch{128}{3}a +\bruch{256}{9}=0$
$a1,2 = \bruch{\bruch{-128}{4} \pm \wurzel{\bruch{128²}{3}-4*16*\bruch{256}{9}}}{32}$
$= \bruch{\bruch{-128}{3} \pm 0}{32} = -\bruch{4}{3}$
$b= \bruch{34}{9}-(-\bruch{4}{3})*(-\bruch{8}{3}) = \bruch{34}{9} - \bruch{32}{9} = \bruch{2}{9}$
$z(x) = -\bruch{4}{3}x + \bruch{2}{9}$
1.1.4
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo itse!
Deine Ergebnissew sind alle korrekt (wie Du ja auch bereits an der Skizze gemerkt hast).
Hier noch einige Anmerkungen ...
> 1.1
>
> a(x) = b(x)
> [mm]\bruch{x²}{4} + 2 -\bruch{x²}{8} - \bruch{4}{2}x + g | *8[/mm]
Hier fehlt ein " = " in der Mitte.
> 2x²+16 = -x²+16x+8g
> 3x²+16x+16-8g=0
>
> [mm]g1,2 = \bruch{-16 \pm \wurzel{256-4*3(16-8g)}}{2*3}[/mm]
Hier handelt es sich um ermittelte $x_$-Werte, also: [mm] $\red{x}_{1/2} [/mm] \ = \ ...$
> 1.1.1
>
> [mm]3x²+16x+16-8*(-\bruch{2}{3})=0[/mm]
> [mm]3x²+16x+16+\bruch{16}{3}=0[/mm]
> [mm]3x²+16x+\bruch{64}{3}=0[/mm]
>
> [mm]xg1,2 = \bruch{-16 \pm\wurzel{256-4*3*\bruch{64}{3}}}{2*3}[/mm]
Hier hättest Du in die o.g. (und bereits ermittelte Form) [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ ...$ lediglich für den Wurzelterm $0_$ einsetzen brauchen.
> 1.1.3
>
> a(x) = z(x)
> [mm]\bruch{x²}{4} + 2 = a*x + b |*4[/mm]
> x²+8=4ax+4b
> x²-4ax+8-4b=0
>
> [mm]z1,2 = \bruch{4a \pm \wurzel{16a²-4(8-4b)}{2}[/mm]
>
> wenn nur ein gemeinsamer Punkt, dann 16a²-4(8-4b)=0
Auch hier geht es mit der Formel für die Tangentengleichung [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-f(x_0)}{x-x_0}$ [/mm] wesentlich schneller.
Setze hier ein [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{8}{3}$ [/mm] sowie [mm] $y_0 [/mm] \ = \ [mm] f(x_0) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{34}{9}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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