Quadrantenbeziehungen sin/cos < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichungen im jeweils angegebenen Intervall.
2sin x=1
Intervall : -2Pi kleiner gleich x kleiner gleich -PI |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also , ich lerne für die BLF mit diesem roten BLF Mathebuch. Und ich verstehe die Lösung des Buches nicht :
x1= -11/6 PI und x2 = -7/6 Pi
meine Lösungen sind : x1=-5/6 PI und x2 = -Pi/6
und mein Lösungsweg:
1. nach sin x umstellen -> sin x=0,5 d.h. mein Hilfswinkel x ist 1/6 Pi
Da das Intervall ja sagt -2PI und -Pi dachte ich mir , dass eben nur der 3. und 4. Quadrant sozusagen"berührt" werden.
2.-> Quadranten beziehung vom 1. zum 3. -> Pi+x also Pi+1/6 PI -> 7/6 Pi , da ja aber das Intervall negativ ist noch : -2PI -> -5/6 Pi
-> Quadranten beziehung vom 1. zum 4. -> 2Pi-x also 2PI-1/6PI -> 11/6Pi und wieder weil Intervall negativ ist : -2Pi -> -Pi/6
im Buch is dieser Lösungsweg , den ich aber als falsch erachte, beschrieben :
1. auch nach sin umgestellt und eben sinx=0,5
2. 1/6 Pi - 2Pi , d.h. die haben den negativen Winkel für den 1. Quadrant , welcher ja aber nicht im Intervall liegt
-> -11/6 Pi
dann Pi-1/6 Pi , d.h. Quadranten beziehung vom 1. zum 2. , welcher ja aber wieder nicht im Intervall liegt -> 5/6Pi
und wahrscheinlich wegen negativ 5/6PI-2PI -> -7/6 PI
Meine Frage ist eben , wo ist mein denkfehler da ich bezweifle , dass die Autoren des Buches einen Fehler gemacht haben.Aber wie gesagt meines erachtens nach , umschließt das Intervall nur den 3. und 3. Quadranten und das Buch berechnet ja für den 1. und 2.
Dankeschön schoneinmal für die Antworten.
Mfg , Fighter4noobs.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Lösen Sie folgende Gleichungen im jeweils angegebenen
> Intervall.
> 2sin x=1
> Intervall : -2Pi kleiner gleich x kleiner gleich -PI
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Also , ich lerne für die BLF mit diesem roten BLF
> Mathebuch. Und ich verstehe die Lösung des Buches nicht :
>
> x1= -11/6 PI und x2 = -7/6 Pi
>
> 1. nach sin x umstellen -> sin x=0,5 d.h. mein Hilfswinkel
> x ist 1/6 Pi
Soweit ist das richtig, aber der zweite Hilfswinkel fehlt:
[mm] x_2=\bruch{5}{6}\pi
[/mm]
> meine Lösungen sind : x1=-5/6 PI und x2 = -Pi/6
> und mein Lösungsweg:
Das ist falsch, und wie sich herausstellen wird, viel zu kompliziert gedacht.
> Da das Intervall ja sagt -2PI und -Pi dachte ich mir , dass
> eben nur der 3. und 4. Quadrant sozusagen"berührt"
> werden.
Das hat jetzt mit den Quadrantenregeln eben nur bedingt zu tun. Die Sinusfunktion ist bekanntlich, wie auch die Kosinusfunktion [mm] 2\pi-periodisch. [/mm] Da sie im Ursprung eine Nullstelle besitzt, so muss es bei [mm] -2\pi [/mm] ebenfalls eine Nullstelle geben. Wegen der Periodizität muss die Sinusfunktion auf [mm] [-2\pi;-\pi] [/mm] genau gleich verlaufen, wie auf [mm] [0;\pi], [/mm] wo du die Hilfswinkel hernimmst.
Was ist also jetzt wohl noch zu tun? 
Gruß, Diophant
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Dankeschön für die schnelle Antwort :)
Nunja , dann müsste man jeweils noch von den Hilfswinkeln -2PI abziehen und an sich ist das ja logisch dass die ja bei -2Pi&-Pi gleich verlaufen wie bei -PI & O.
Aber wir hatten es halt im Unterricht immer so gemacht - Intervall angschaut , welche Quadranten es berührt , dann geschaut wie wir sozusagen da hinkommen - eben über Hilfswinkel ( wenn nötig ) und über die Quadrantenbeziehung.
Deswegen verstehe ich noch nicht so genau , warum das hier nicht möglich ist.
Mfg , Fighter4noobs.
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Hallo,
die Quadrantenbeziehungen sind eher für symmetrisch liegende Lösungen gut. Es ist bspw.
[mm] cos(x)=\bruch{1}{2} [/mm] => [mm] x_1=\bruch{\wurzel{3}}{2}\pi
[/mm]
und wegen
cos(-x)=cos(x)
ist
[mm] x_2=-\bruch{\wurzel{3}}{2}\pi
[/mm]
eine weitere Lösung.
Also bei Sinus und Kosinus kann man eigentlich sagen, dienen die Quadrantenbeziehungen dem auffinden unterschiedlicher Hilfswinkel, während die Periodizität dazu dienen kann, die aus diesen Hilfswinkeln folgenden Lösungen aufzufinden, genau so, wie es hier der Fall ist.
Gruß, Diophant
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