Quadrat. Fkt. mit Parameter < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:23 Do 27.01.2005 | | Autor: | Javafrog |
Ein 8 m langes Förderband transportiert Schutt mit einer Geschwindigkeit v. Es ist gegenüber der Horizontalen unter einem Winkel [mm] \alpha (0<\alpha<60°) [/mm] geneigt. Befindet sich der Schutt am Ende des Förderbandes (Abwurfpunkt), bewegt er sich nach dem Abwurf annähernd auf einer parabelförmigen Bahn. In einem kartesischem Koordinatensystem (1 EH = 1 m) mit dem Ursprung im Abwurfpunkt kann diese Bahn in der Ebene x=0 durch die Gleichung
z = f(y) = tan [mm] \alpha [/mm] *y - g/(2v²cos² [mm] \alpha) [/mm] *y² (g = 9,81 m/s²)
beschrieben werden.
b) Der zu beladende LKW soll möglichst weit vom Förderband entfernt stehen. Die "Flugweite" des Schuttes ist maximal, wenn der Schutt unter einem Winkel von 45° auftrifft. Der Auftreffpunkt soll 40 cm tiefer als der Abwurfpunkt des Förderbandes liegen. Das Förderband ist auf eine Geschwindigkeit von v = 3 m/s eingestellt.
Ermitteln Sie für diesen Fall die Größe des Winkels [mm] \alpha, [/mm] so daß die Flugweite des Schuttes maximal wird.
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Die Verwendung von y als Variable wird dann in Aufgabe c) klar, wenn x noch mit ins Spiel kommt =)
Eigentlich scheint die Sache recht klar und einfach: 45° Auftrittswinkel bedeuten [mm] f'(y_{a}) [/mm] = -1, wobei [mm] y_{a} [/mm] der Auftrittspunkt als Schnittpunkt zwischen f(y) und -0.4 ist. Ich habe die Gleichung erst einmal umgeformt, um gleiche Winkelfunktionen zu erhalten, in f(y) = tan [mm] \alpha [/mm] *y - (g*(1+tan² [mm] \alpha))/(2v²) [/mm] *y² Für f'(y) habe ich dann f'(y) = tan [mm] \alpha [/mm] - (g*(1+tan² [mm] \alpha))/(v²) [/mm] *y.
Als nächstes muß der Schnittpunkt bestimmt werden, und dort komme ich nicht weiter.
-0.4 = tan [mm] \alpha [/mm] *y - (g*(1+tan² [mm] \alpha))/(2v²) [/mm] *y²
0 = y² - 2v² tan [mm] \alpha/(g*(1+tan² \alpha)) [/mm] *y - 0.8v²/(g(1+tan² [mm] \alpha))
[/mm]
Der Einfachheit halber tan [mm] \alpha [/mm] mit a ersetzen:
0 = y² - 2v²a/(g(1+a²)) *y - 0.8v²/(g(1+a²))
Standardformel:
[mm] y_{1,2} [/mm] = v²a/(g(1+a²)) [mm] \pm \wurzel{ 4v²a²/(g²(1+a²)²)/4 + 0.8v²/(g(1+a²)) }
[/mm]
Weiter nur die Wurzel:
[mm] \wurzel [/mm] {(v²a² + 0.8v²g(1+a²))/(g²(1+a²)²)}
Den unteren Teil aus der Wurzel nehmen und beim oberen Teil das v² ausklammern und herausnehmen:
v* [mm] \wurzel [/mm] {a²+0.8v²g(1+a²)}/(g(1+a²))
So und hier war's das. Es ist mir klar, daß nur die + und nicht die - Lösung in Betracht kommt, da der Schutt ja rechts des Scheitelpunktes landet, somit könnte ich zusammenfassen zu:
[mm] y_{a} [/mm] = (v²a + v* [mm] \wurzel [/mm] {a²+0.8v²g(1+a²)})/(g(1+a²)),
aber ich kriege die restlichen a's nicht aus der Wurzel, was ich im nächsten Schritt brauche, damit ich [mm] f'(y_{a}) [/mm] = -1 nach [mm] \alpha [/mm] umstellen kann. Vielleicht habe ich auch einen Fehler gemacht, aber ich sehe ihn nicht.
Ich hoffe auf einen Hinweis =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Javafrog |
Ich habs jetzt raus. Man muß das Pferd sozusagen von hinten aufzäumen. Man ermittelt zuerst den Punkt, an dem f'(y) = -1 ist und setzt dieses Ergebnis dann in f(y) ein, um den Winkel [mm] \alpha [/mm] zu erhalten.
Das Ganze ist etwas länglich, aber am Ende kommen 14,6° raus (mit Maple bestätigt).
Fragt sich nur, wie man das im Abi schaffen soll, wenn man da ne halbe Stunde an einem "falschen" Lösungsweg sitzt (ich schätze mal, daß fast jeder zuerst versucht, den Punkt zu ermitteln und dann in f'(y) einzusetzen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Do 03.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist die Frage rein mathematisch oder darf man Physik verwenden? Wenn ja ist sie ganz einfach zu lösen:
Am Ende ist [mm] -v_{z} =v_{y} [/mm] und [mm] v_{y} [/mm] ist konstant, [mm] -v_{z} [/mm] wird durch den Energiegewinn im Betrag vergrößert. und zwar gilt:
[mm] v(z)_{anf}^{2}+2*g*h =v(z)_{end}^{2}
[/mm]
damit [mm] (3m/s)^{2}sin^{2}(\alpha)+2*0,4m*9,81ms^{2}=(3ms)^{2}*cos^{2}(\alpha) [/mm]
daraus [mm] \alpa=14,65°
[/mm]
Physik ist schön einfach. Diese Sorte scheinbare Matheaufgaben sind blöd, wenn man so was nicht anwenden kann!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Javafrog |
Ähh, das mußt Du mir nochmal genauer erklären. Physik liegt mir nicht ganz so.
Ich schätze mal, daß [mm] v_{z} [/mm] und [mm] v_{y} [/mm] die anteiligen Geschwindigkeiten in y- und z-Richtung sind?
Wieso ist [mm] -v_{z} [/mm] = [mm] v_{y}? [/mm] Wegen des 45° Aufprallwinkels? Ich kann mir nicht vorstellen, daß das immer so sein soll... Und den Rest versteh ich auch nicht richtig =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Du hast Recht, die Beziehung [mm] $-v_y=v_z$ [/mm] gilt nicht immer, deshalb hat leduart auch gesagt am Ende. Er muss nämlich auch das Pferd von hinten aufzäumen, wenn der Schutt im 45° Winkel auftritt gilt genau in dem Augenblick [mm] $-v_y=v_z$.
[/mm]
Da es sich um einen schrägen Wurf handelt kann man mit dem Prinzip der ungestörten Überlagerung (Superpositionsprinzip) in Bewegung in zwei Teilbewegungen zerlegen. Man zerlegt die Bewegung in zwei Anteile, einen entlang der $y$-Achse und den anderen entlang der $z$-Achse.
Die Geschwindigkeit in $y$-Richtung bleibt dann ab dem Verlassen des Förderbandes (unter Vernachlässigung der Luftreibung) konstant, daher [mm] $v_y=const.$
[/mm]
Bei der Bewegung entlang der $z$-Achse handelt es sich um eine gleichmässig-beschleunigte Bewegung, da die Erdanziehung auf den Schutt wirkt.
leduart macht aber einen Ansatz über die Energie ( die im reibungsfreien Fall erhalten bleibt). Das Förderband gibt dem Schutt eine bestimmte Energie, nämlich die Bewegungsenergie (kinetische Energie) mit der sich der Schuttbewegt und eine potentielle Energie, weil das Förderband den Schutt im Gravitationsfeld der Erde nach oben bewegt hat. Diese Energie wird vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt (daher ändert sich dann auch [mm] ${v_z}_{anf}$ [/mm] zu [mm] ${v_z}_{ende}$).
[/mm]
Die Bewegungsenergie eines Körpers wird durch [mm] $E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$ [/mm] gegeben und die Lageenergie durch [mm] $E_{pot}=mgh$.
[/mm]
Damit erhält man als Gleichung für den Energieansatz:
[mm] $\frac{1}{2}m({v_z}_{anf})^2 [/mm] + [mm] mgh=\frac{1}{2}m({v_z}_{ende})^2$
[/mm]
Multipliziert man mit [mm] $\frac{2}{m}$ [/mm] kommt man auf die Gleichung von leduart.
Der Anteil der Geschwindigkeit in $y$-Richtung kann dann über den [mm] $\cos(\alpha)$ [/mm] und der Anteil in $z$-Richtung über [mm] $\sin(\alpha)$ [/mm] bestimmt werden.
Und da ja wie bereits erwähnt wegen dem 45° Winkel [mm] $v_y= [/mm] - [mm] {v_z}_{ende}$ [/mm] gilt kommt man auf die letzte Gleichung die man nur noch nach [mm] $\alpha$ [/mm] auflösen muss.
Ich hoffe der Weg von leduart ist dir etwas klarer geworden - aber ich denke mal das die Rechenvorteile nicht mehr so hoch sind, wenn man den Weg so ausführlich beschreiben müsste.
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