Quadrat = größte Fläche?! < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Grischa |
Schon mehrmals bin ich bei einer Aufgabe hängen geblieben und nicht weiter gekommen. Schließlich habe ich einfach wieder einmal festgelegt das, das Quadrat die größte Fläche ist und ich kam zum richtigen Ergebnis :)
So nur leider akzeptiert meine Lehrerin das nicht und ich solle, wenn ich so etwas vorlege, einen Beweis liefern.
Frage: Gibt es einen Beweis dafür das, das Quadrat den größten Flächeninhalt hat?
Mfg Grischa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Grischa,
> Schon mehrmals bin ich bei einer Aufgabe hängen geblieben
> und nicht weiter gekommen. Schließlich habe ich einfach
> wieder einmal festgelegt das, das Quadrat die größte Fläche
> ist und ich kam zum richtigen Ergebnis :)
>
> So nur leider akzeptiert meine Lehrerin das nicht und ich
> solle, wenn ich so etwas vorlege, einen Beweis liefern.
>
> Frage: Gibt es einen Beweis dafür das, das Quadrat den
> größten Flächeninhalt hat?
Nein, denn so formuliert ist es ja falsch. Es gibt zu jedem Quadrat z.B. ein Rechteck, das einen größeren Flächeninhalt hat 
Du mußt also die Auswahl etwas einschränken, z.B. auf alle Objekte mit einem fest vorgegebenem Umfang. Selbst diese Einschränkung reicht nicht, denn ein Kreis hat bei gleichem Umfang einen größeren Flächeninhalt als das Quadrat.
Das eigentliche Problem lautet also (nehme ich an): Gibt es einen Beweis dafür, dass das Quadrat unter den Rechtecken mit gleichem Umfang den größten Flächeninhalt hat?
Diesen gibt es, er ist ganz einfach:
Nimm' dir ein beliebiges Rechteck her, mit dem fest vorgegebenem Umfang $U$.
Das Rechteck hat dann die Seitenlängen $a$ und $b$ und den Flächeninhalt $A(a,b)=a*b$.
Dadurch, dass der Umfang vorgegeben ist, stehen $a$ und $b$ in Abhängigkeit: $U=2a+2b$.
Mit anderen Worten, b ist nicht mehr frei wählbar, wenn a feststeht.
Man erhält also sämtliche Rechtecke mit Umfang $U$, wenn man sich eine Seitenlänge $a$ vorgibt und dann die andere Seitenlänge zu [mm] $b=\bruch{U}{2}-a$ [/mm] wählt.
Wie lautet nun der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten $a$ und [mm] $\bruch{U}{2}-a$?
[/mm]
Siehst du, dass dieser Term für den Flächeninhalt eine Funktion in der Variablen $a$ ist?
Wie nennt man solche Funkionen, und wie bestimmt man dasjenige $a$, das zu dem größten Funktionswert (="Flächeninhalt") gehört?
Rechne dann $b$ aus und der Beweis ist fertig 
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Grischa |
Oha mal sehen ob ich das verstanden habe...
Also das ist ja theoretisch eine:
Hauptfunktion : U = 2*a + 2*b
und eine Nebenfunktione: A(a,b) = a *b
Jetzt lößt man die Nebenfunktion nach a oder b auf:
$ [mm] b=\bruch{U}{2}-a [/mm] $
Nun setzt man b in die Hauptfunktion ein:
also A(a) = a * [mm] \bruch{U}{2}-a [/mm] $
= [mm] \bruch{U}{2} [/mm] * a²
Jetzt würde ich um das Maximun zu bestimmen, davon die Ableitung bilden!
A'(a) = 2 [mm] \bruch{U}{2}a
[/mm]
und jetzt ja eigentlich gleich 0 setzen, aber irgendwie macht das doch alles keinen Sinn, wenn man nicht wenigsten einen festen Wert hat. Bin gerade etwas verwirrt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 28.08.2005 | | Autor: | Grischa |
cool, alles verstanden danke.
Außer den letzten Schritt:
Was ist mit "rückeinsetzen" gemeint.
Sieht irgendwie aus wie ne Probe dennoch verstehe ich nicht ganz wie man da jetzt auf a² kommt ;)
SChonmal danke für alles!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 28.08.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
du hast doch am Ende erhalten das die Fläche maximal wird für a= [mm] \bruch{U}{4}.
[/mm]
Dieses a setzt du doch dann in die Flächenformel ein und erhälst als Fläche dann [mm] \bruch{U^2}{16}. [/mm] Dieses erhälst du nur wenn du das a oben quadrierst. Also wird die Fläche maximal für [mm] a^2.
[/mm]
Hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß,
clwoe
Sorry hatte das Quadrat beim U vergessen.
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Hat ein Dreieck, bei dem die Katheten ebenfalls gleichlang sind, bei vorgegebenem Umfang und so auch die Maximale Fläche???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 03.07.2012 | | Autor: | abakus |
> Hat ein Dreieck, bei dem die Katheten ebenfalls gleichlang
> sind, bei vorgegebenem Umfang und so auch die Maximale
> Fläche???
Hallo,
die Frage ist falsch gestellt. Die größte Fläche bei konstant vorgegebenem Umfang hat von allen Dreiecken das gleichseitige Dreieck.
Von Katheten spricht man nur, wenn das Dreieck rechtwinklig ist. Soll es ein solches sein? Dann hättest du recht.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 So 28.08.2005 | | Autor: | Disap |
Servus.
> Oha mal sehen ob ich das verstanden habe...
>
> Also das ist ja theoretisch eine:
> Hauptfunktion : U = 2*a + 2*b
> und eine Nebenfunktione: A(a,b) = a *b
>
> Jetzt lößt man die Nebenfunktion nach a oder b auf:
> [mm]b=\bruch{U}{2}-a[/mm]
Vorher hast du geschrieben, dass "A(a,b) = a *b "die Nebenfunktion ist und "U = 2*a + 2*b" die Hauptfunktion.
Offensichtlich hast du da die Begriffe vertauscht.
> Nun setzt man b in die Hauptfunktion ein:
>
> also A(a) = a * [mm]\bruch{U}{2}-a[/mm] $
>
> = [mm]\bruch{U}{2}[/mm] * a²
>
>
> Jetzt würde ich um das Maximun zu bestimmen, davon die
> Ableitung bilden!
>
> A'(a) = 2 [mm]\bruch{U}{2}a[/mm]
>
> und jetzt ja eigentlich gleich 0 setzen, aber irgendwie
> macht das doch alles keinen Sinn, wenn man nicht wenigsten
> einen festen Wert hat. Bin gerade etwas verwirrt.
>
mfG Disap
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