Quadrate eines endl. Körpers ( < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 16.03.2009 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | Sei [mm]\mathbb F_{q}[/mm] der endlicher Körper mit q Elementen.
Ein [mm]a\in \mathbb F_{q}[/mm] heißt Quadrat falls gilt [mm]\exists c \in \mathbb F_{q}[/mm] mit [mm]c^{2}=a[/mm]
Zu zeigen gilt es, unter welche Umständen die Menge der Quadrate [mm]Q[/mm] eine (echte) Untergruppe von [mm]\mathbb F_{q}[/mm] sind bez. Addition. |
Folgendermaßen sieht meine Vorgangsweise aus und ich würde um eine Bestätigung bitte, ob diese auch wirklich richtig ist:
Falls die Charakteristik [mm]C(\IF_{q})=2[/mm] bekomme ich, mithilfe des Frobeniushomomorphismus heraus, dass jedes Element von [mm]\mathbb F_{q}[/mm] ein Quadrat ist, sprich [mm]\mathbb F_{q}=Q[/mm] und damit [mm]Q[/mm] unechte Untergruppe.
Falls die Charakteristik [mm]C(\mathbb F_{q})=p\neq 2[/mm], so erhalte ich, dass die Mächtigkeit von [mm]Q[/mm] gleich [mm]\frac{q+1}{2}[/mm] (in einem anderen Beispiel schon berechnet). Wäre nun aber [mm]Q[/mm] Untergruppe von [mm]\mathbb F_{q}[/mm], dann würde gelten, dass die Mächtigkeit von [mm]Q[/mm] jene von [mm]\mathbb F_{q}[/mm] teilt. Also:
[mm]\frac{q+1}{2} \mid q = p^{n}[/mm]
Weil aber [mm]\frac{q+1}{2}[/mm] gerade und [mm]p^{n}[/mm]
ungerade für [mm]p\neq2[/mm] erhalte ich einen Widerspruch.
Stimmt das so, oder hab ich irgendwo eine wichtige Kleinigkeit übersehen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=389401
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Di 17.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei [mm]\mathbb F_{q}[/mm] der endlicher Körper mit q Elementen.
> Ein [mm]a\in \mathbb F_{q}[/mm] heißt Quadrat falls gilt [mm]\exists c \in \mathbb F_{q}[/mm]
> mit [mm]c^{2}=a[/mm]
>
> Zu zeigen gilt es, unter welche Umständen die Menge der
> Quadrate [mm]Q[/mm] eine (echte) Untergruppe von [mm]\mathbb F_{q}[/mm] sind
> bez. Addition.
> Folgendermaßen sieht meine Vorgangsweise aus und ich würde
> um eine Bestätigung bitte, ob diese auch wirklich richtig
> ist:
>
> Falls die Charakteristik [mm]C(\IF_{q})=2[/mm] bekomme ich, mithilfe
> des Frobeniushomomorphismus heraus, dass jedes Element von
> [mm]\mathbb F_{q}[/mm] ein Quadrat ist, sprich [mm]\mathbb F_{q}=Q[/mm] und
> damit [mm]Q[/mm] unechte Untergruppe.
OK
> Falls die Charakteristik [mm]C(\mathbb F_{q})=p\neq 2[/mm], so
> erhalte ich, dass die Mächtigkeit von [mm]Q[/mm] gleich
> [mm]\frac{q+1}{2}[/mm] (in einem anderen Beispiel schon berechnet).
> Wäre nun aber [mm]Q[/mm] Untergruppe von [mm]\mathbb F_{q}[/mm], dann würde
> gelten, dass die Mächtigkeit von [mm]Q[/mm] jene von [mm]\mathbb F_{q}[/mm]
> teilt. Also:
> [mm]\frac{q+1}{2} \mid q = p^{n}[/mm]
>
> Weil aber [mm]\frac{q+1}{2}[/mm] gerade und [mm]p^{n}[/mm]
> ungerade für [mm]p\neq2[/mm] erhalte ich einen Widerspruch.
Die Begründung stimmt nicht, weil [mm]\frac{q+1}{2}[/mm] nicht unbedingt gerade ist, nimm q = 9.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Di 17.03.2009 | | Autor: | pheips |
Das stimmt natürlich. Keine Ahnung wieso ich das übersehen habe. Ziemlich dummer Fehler. Wohl schon ein bißchen "Teilbarkeit" geschädigt. Allerdings führt [mm]\frac{q+1}{2}[/mm] teilt [mm]q[/mm] trotzdem zu einem Widerspruch. Weil dann[mm]q+1[/mm] teilt [mm]2q[/mm] gelten würde, was nur für [mm]q=1[/mm] stimmt.
LG und vielen Dank für den Hinweis!
pheips
|
|
|
|
