Quadratische Ergänzung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] 3\*x_{1}^{2} [/mm] + [mm] 2\*x_{2}^{2} [/mm] + [mm] 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1 [/mm] |
[mm] 3\*x_{1}^{2} [/mm] + [mm] 2\*x_{2}^{2} [/mm] + [mm] 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1
[/mm]
Ich soll hier quadratische Ergänzung durchführen...
Jetzt würde ich euch um eure Hilfe bitten!
Zuerst würde ich [mm] 2\*x_{2}^{2} [/mm] stehen lassen, da ich hier bereits ein Quadrat habe, richtig?
Dann würde ich mich auf [mm] 3\*x_{1}^{2} [/mm] und [mm] 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1 [/mm] stürzen.
Die 1 würde ich auf die linke Seite bringen (Term = 0 setzen).
Dann bleibt mir noch übrig:
[mm] 3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1 [/mm] = 0 [mm] (2\*x_{2}^{2} [/mm] lasse ich jetzt für die Nebenrechnung weg!!!)
[mm] 3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1 [/mm] = 0
Wer kann mir hier weiter helfen?
Klammere ich die 3 aus?
3 [mm] (x_{1}^{2}+ x_{3}^{2}+\bruch{8}{3}x_{1}x_{3})-1=0
[/mm]
Dann lasse ich die 3 stehen und mache ein Binom:
3 [mm] (x_{1}+\bruch{4}{3} x_{3})x^{2}-1-\bruch{48}{9}=0
[/mm]
Bin ich soweit richtig?
Besten Dank, Gruß Pippi:-;
|
|
| |
|
> [mm]3\*x_{1}^{2}+2\*x_{2}^{2}+3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1[/mm]
> Ich soll hier quadratische Ergänzung durchführen...
>
So wie es nach deiner früheren Aufgabe
aussieht, geht es wohl wieder darum,
des gemischte Glied [mm] 8*x_1*x_3 [/mm] irgendwie
zum Verschwinden zu bringen, um dann
eine Summe von Quadraten zu bekommen.
Dies kann man allerdings auf verschiedene
Arten tun, die Aufgabe ist also nicht ein-
deutig gestellt !
> Zuerst würde ich [mm]2\*x_{2}^{2}[/mm] stehen lassen, da ich hier
> bereits ein Quadrat habe, richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann würde ich mich auf [mm]3\*x_{1}^{2}[/mm] und
> [mm]3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1[/mm] stürzen.
> .....
> Dann bleibt mir noch übrig:
> [mm]3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1[/mm] = 0
> [mm](2\*x_{2}^{2}[/mm] lasse ich jetzt für die Nebenrechnung
> weg!!!)
>
> [mm]3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1[/mm] = 0
> Wer kann mir hier weiter helfen?
> Klammere ich die 3 aus?
> 3 [mm](x_{1}^{2}+ x_{3}^{2}+\bruch{8}{3}x_{1}x_{3})-1=0[/mm]
Lass lieber z.B. die [mm] 3*x_3^2 [/mm] vorerst aus dem Spiel,
also:
$\ [mm] 3*(x_1^2+\bruch{8}{3}x_1x_3+.....)-......+3x_3^2-1=0$
[/mm]
> Dann lasse ich die 3 stehen und mache ein Binom:
> 3 [mm](x_{1}+\bruch{4}{3} x_{3})x^{2}-1-\bruch{48}{9}=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da wo ich oben die Pünktchen gesetzt habe,
kommt die Ergänzung hin:
$\ [mm] 3*(x_1^2+\bruch{8}{3}x_1x_3\red{+\bruch{16}{9}x_3^2})\blue{-\bruch{16}{3}x_3^2}+3x_3^2-1=0$
[/mm]
$\ [mm] 3*\left(x_1+\bruch{4}{3}x_3\right)^2-\bruch{7}{3}x_3^2-1=0$
[/mm]
Dann natürlich das Glied mit [mm] x_2^2 [/mm] wieder dazu
und du hast deinen Term ohne gemischte Glieder.
Da im gegebenen Term [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] genau symmetrisch
vorkommen, wäre jedoch statt der Lösung
$\ [mm] 3*\left(x_1+\bruch{4}{3}x_3\right)^2+2x_2^2-\bruch{7}{3}x_3^2=1$
[/mm]
ebensogut möglich:
$\ [mm] 3*\left(x_3+\bruch{4}{3}x_1\right)^2+2x_2^2-\bruch{7}{3}x_1^2=1$
[/mm]
Es gäbe noch (unendlich viele !) andere mögliche
Lösungen, falls nicht noch eine Zusatzbedingung
zu erfüllen ist.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
