Quadratische Ergänzung < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 07.09.2005 | | Autor: | break |
Hallo,
Könnte mir einer die Vorgehensweise der Quadratischen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 07.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst mal das Ziel der quad. Ergänzung:
[mm] 1.x^{2}=a [/mm] kannst du leicht lösen [mm] (x-b)^{2}=a [/mm] kannst du hoffentlich auch noch leicht lösen: (x-b) [mm] =\pm\wurzel{a} [/mm] x=b [mm] \pm\wurzel{a}.
[/mm]
[mm] x^{2}+ax [/mm] +b =c kannst du nicht. Aber wenn da stände [mm] x^{2}+2ax+a^{2}=c [/mm] dann solltest du links sehen dass es die binomische Formel ist und sofort hinschreiben: [mm] (x+a)^{2}=c [/mm] und das kannst du ja lösen!
Deshalb versucht man so ne Binomischen Ausdruck hinzukriegen.
Und das versuch ich jetzt zu erklaren:
Wenn ich habe [mm] x^{2}+px+q=0 [/mm] dann denk ich erst mal an das 2a beim x und [mm] schreibe:x^{2}+2*\bruch{p}{2}x+q=0
[/mm]
jetzt entspricht [mm] \bruch{p}{2} [/mm] meinem a aber es fehlt [mm] a^{2} d.h.(\bruch{p}{2})^{2} [/mm] das schreib ich einfach dazu, weil dann aber die Gleichung nicht mehr stimmen würde, zieh ich es gleich wieder ab! also
[mm] x^{2}+2*\bruch{p}{2}x +(\bruch{p}{2})^{2} [/mm] +q=0
jetzt den Binom anwenden:
[mm] (x+\bruch{p}{2})^{2}-(\bruch{p}{2})^{2}+q=0
[/mm]
oder [mm] (x+\bruch{p}{2})^{2}=(\bruch{p}{2})^{2}-q
[/mm]
und das kannst du jetzt einfach wie oben lösen.
Zusammenfassen: Faktor vor x halbieren, quadrieren dazuzählen und abziehen, Binom als [mm] ()^{2} [/mm] schreiben.usw.
dass du das fehlende Quadrat dazuschreibst und dann das Binom als Quadrat schreibst nennt man dann"quadratische Ergänzung".
Ich hoff alles ist klar, sonst frag nach
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 09.09.2005 | | Autor: | break |
Hallo,
Also ich hab es mal probiert! Hier mein Ansatz:
x² + 2x - 4
x² + 2x - 1 + 1 - 4
(x+1)² - 5
also das ist mit den Extremwerten welche sich aus der quadratischen Ergänzung resulitieren!
gruß,
break
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo break!
> x² + 2x - 4
> x² + 2x - 1 + 1 - 4
> (x+1)² - 5
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ,
auch wenn ich in der zweiten Zeile eher [mm] $x^2+2x+1-1-4$ [/mm] geschrieben hätte, dann ist es etwas deutlicher (ist aber egal).
> also das ist mit den Extremwerten welche sich aus der
> quadratischen Ergänzung resulitieren!
Ja, das kann man daran ablesen. Du hast ja jetzt die Scheitelpunktform der Parabel gebildet. Aus der Gleichung
$y=(x+1)² - 5$
kann man ablesen, dass $S(-1/-5)$ der Scheitelpunkt ist. Dies ist zugleich der Tiefpunkt des Graphen, denn die Parabel ist ja nach oben geöffnet (ersichtlich an dem positiven Vorzeichen vor dem [mm] $x^2$, [/mm] im Falle [mm] $-2x^2 [/mm] + [mm] \ldots$ [/mm] etwa wäre die Parabel nach unten geöffnet).
Machen wir uns doch auch mal mathematisch klar, dass an der Stelle $S(-1/-5)$ ein Tiefpunkt ist:
Für welches $x$ wird [mm] $(x+1)^2-5$ [/mm] am kleinsten?
Der Ausdruck [mm] $(x+1)^2$ [/mm] ist ja das Quadrat einer reellen Zahl. Dieses kann nie negativ werden, ist also entweder $0$ oder positiv. Es ist somit am kleinsten, wenn es gleich $0$ ist. Und dies ist genau dann der Fall, wenn $x=-1$ ist.
Möchtest du noch mehr Aufgaben versuchen? Dann stelle doch einfach ein paar Aufgaben mit deinen Lösungsvorschlägen hier herein und wir kontrollieren sie. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 So 11.09.2005 | | Autor: | break |
Hallo,
Also ich habe da noch eine Aufgabe gemacht aber ich weis nicht ob sie so ganz stimmt!
[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [ x² - [mm] \bruch{36}{5} [/mm] + [mm] \bruch{36}{5}]
[/mm]
[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [ x² - 7,2x + 7,2 ]
[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [ x² - 7,2x + 3,6² - 12,96 + 7,2]
[mm] \bruch{5}{3} \* [/mm] [(x-3,6)² - 5,76
Also schon wie oben gesagt weis ich nicht ob es stimmt!
gruß,
break
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 So 11.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - [mm]\bruch{36}{5}[/mm] + [mm]\bruch{36}{5}][/mm]
> [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 7,2 ]
> [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 3,6² - 12,96 + 7,2]
> [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [(x-3,6)² - 5,76]
>
ja, deine Ergänzung stimmt, habe alles mit einem Taschenrechner nachgerechnet. (in der ersten Zeile hast du nur ein x vergessen, richtig?)
Aber du hast ja jetzt nicht (ganz) die Scheitelpunktform.
(Marc erklärt im Folgenden, wie man sie bekommt)
Man hätte den Vorfaktor in die Klammer ziehen können:
[mm] $\bruch{5}{3}x^2+\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}*x-\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}$
[/mm]
[mm] $\bruch{5}{3}x^2+12*x-12$
[/mm]
kannst du dir denn jetzt herleiten, wie man hier im allgemeinen Fall quadratisch Ergänzen kann?
(Vorsicht: [mm] $\bruch{5}{3}x^2$ [/mm] entspricht dem a² in der binomischen Formel, d.h. man muss a auch erst berechnen, damit man es im zweiten Term berücksichtigen kann : 2ab entspricht 12x , dann kann man erst b herausfinden)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 So 11.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo DaMenge,
> > [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - [mm]\bruch{36}{5}[/mm] + [mm]\bruch{36}{5}][/mm]
> > [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 7,2 ]
> > [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [ x² - 7,2x + 3,6² - 12,96 + 7,2]
> > [mm]\bruch{5}{3} \*[/mm] [(x-3,6)² - 5,76]
> >
>
> ja, deine Ergänzung stimmt, habe alles mit einem
> Taschenrechner nachgerechnet. (in der ersten Zeile hast du
> nur ein x vergessen, richtig?)
>
> Aber du hast ja jetzt nicht die Scheitelpunktform.
> Man hätte den Vorfaktor in die Klammer ziehen können:
>
> [mm]\bruch{5}{3}x^2+\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}*x-\bruch{5}{3}*\bruch{36}{5}[/mm]
> [mm]\bruch{5}{3}x^2+12*x-12[/mm]
>
> kannst du dir denn jetzt herleiten, wie man hierfür
> quadratisch Ergänzen kann?
> (Vorsicht: [mm]\bruch{5}{3}x^2[/mm] entspricht dem a² in der
> binomischen Formel, d.h. man muss a auch erst berechnen,
> damit man es im zweiten Term berücksichtigen kann : 2ab
> entspricht 12x , dann kann man erst b herausfinden)
Das ist zwar richtig, aber eine quadratische Ergänzung mit [mm] $a=\wurzel{\bruch{5}{3}}x$ [/mm] ist nicht gerade dankbar 
Es geht hier und im allgemeinen auch viel einfacher, wenn man genau wie break vorgeht und ganz zum Schluss dann den Vorfaktor ausmultipliziert:
(breaks Rechnungen)
[mm] $\gdw$ $\bruch{5}{3} \* [/mm] [(x-3,6)² - 5,76]$
[mm] $\gdw$ $\bruch{5}{3} \* [/mm] (x-3,6)² - [mm] \bruch{5}{3}*5,76$
[/mm]
Dies ist dann die Scheitelpunktsform, der Scheitelpunkt liegt bei [mm] $S\left(3.6;- \bruch{5}{3}*5,76\right)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 So 11.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Marc,
danke für den Hinweis - ich hatte nur die simple Variante der  Scheitelpunktform im Kopf (ohne Vorfaktor).
Da sieht man mal wieder, wie sehr auch den Antwortenden die ganze Sache helfen kann.
@break : dann entschuldige bitte, wenn ich dich verwirrt habe - wie Marc es schon schrieb : wenn man den Faktor zum Schluss noch reinzieht, dann kann man doch den Scheitelpunkt ablesen !
(Werde meine Falschaussage oben gleich streichen)
viele Grüße
DaMenge
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