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huhu mal wieder ich:)
Dieses Mal geht um quadratische Formen. Dazu hab ich eine Frage:
nach meinem Skript:
eine quadratische Gleichung in zwei variablen x,y ist eine Gleichung der Form
[mm] ax^2 [/mm] +2bxy + [mm] cy^2 [/mm] + dx + ey + f = 0,
wobei die linke Seite aus einem konstanten Term f, einer linearen Form dx + ey
und einer quadr. Form [mm] ax^2 [/mm] +2bxy + [mm] cy^2 [/mm] besteht.
In Matrixschreibweise ergibt sich für die quadr. Form:
[mm] ax^2 [/mm] +2bxy + [mm] cy^2 [/mm] = [mm] x^T [/mm] A x ,
wobei x = [mm] \vektor{x \\ y}, [/mm] A eine symmetrische Matrix.
( Man beschreibt nach Skript hiermit einen Kegelschnitt)
Als Matrixgleichung im [mm] \IR^n [/mm] ergibt sich die quadr. Gleichung:
f(x) = [mm] x^T [/mm] Ax +b^Tx +c = 0
wobei A = [mm] [a_{ij}] [/mm] (hier auch symmetrisch??) , x = [mm] [x_1, [/mm] ... , [mm] x_n]^T [/mm] , b = [mm] [b_1, [/mm] ... , [mm] b_n]^T [/mm] aus [mm] \IR^n.
[/mm]
... eine quadratische Form ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 ...
was ist ein homogenes polynom? Einfach = 0 setzen?
... Wir sagen, dass eine quadr. Gleichung f(x) als konsistent zu bezeichnen ist, wenn sie eine Lösung x mit f(x) = 0 besitzt...
Kann man wohl als Gleichungssystem lösen , oder?
Vielleicht noch eine eigentlichwichtige Frage:
Wozu dient diese Thematik? Untersucht man damit Schnitte bei geometrischen Figuren? Und wenn ja, wonach sucht man?
Liebe Grüße,
Evelyn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 14.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
> huhu mal wieder ich:)
>
> Dieses Mal geht um quadratische Formen. Dazu hab ich eine
> Frage:
>
> nach meinem Skript:
>
> eine quadratische Gleichung in zwei variablen x,y ist eine
> Gleichung der Form
>
> [mm]ax^2[/mm] +2bxy + [mm]cy^2[/mm] + dx + ey + f = 0,
>
> wobei die linke Seite aus einem konstanten Term f, einer
> linearen Form dx + ey
> und einer quadr. Form [mm]ax^2[/mm] +2bxy + [mm]cy^2[/mm] besteht.
>
> In Matrixschreibweise ergibt sich für die quadr. Form:
>
> [mm]ax^2[/mm] +2bxy + [mm]cy^2[/mm] = [mm]x^T[/mm] A x ,
> wobei x = [mm]\vektor{x \\ y},[/mm] A eine symmetrische Matrix.
> ( Man beschreibt nach Skript hiermit einen Kegelschnitt)
>
Das sind Gebilde (in der Ebene), die durch Schnitte von Ebenen und (Doppel-)Kegeln entstehen, d.h. Parabeln, Hyperbeln, Geraden oder ein einzelner Punkt (wie bei [mm] x^2+y^2=0).
[/mm]
>
> Als Matrixgleichung im [mm]\IR^n[/mm] ergibt sich die quadr.
> Gleichung:
>
> f(x) = [mm]x^T[/mm] Ax +b^Tx +c = 0
> wobei A = [mm][a_{ij}][/mm] (hier auch symmetrisch??) , x = [mm][x_1,[/mm]
> ... , [mm]x_n]^T[/mm] , b = [mm][b_1,[/mm] ... , [mm]b_n]^T[/mm] aus [mm]\IR^n.[/mm]
>
> ... eine quadratische Form ist ein homogenes Polynom vom
> Grad 2 ...
> was ist ein homogenes polynom? Einfach = 0 setzen?
>
Homogene Polynome sind Polynome, in denen die Summe der Exponenten in jedem Monom gleich einer festen Zahl $d [mm] \in \IN_0$ [/mm] ist.
Beispiel: [mm] f(x,y,z)=x^3+y*z^2+x*y*z [/mm] ist homogen vom Grad 3, weil in jedem Summanden (die Dinger nennt man Monome) die Summe der Exponenten der Variablen konstant 3 ist (3+0+0, 0+1+2, 1+1+1).
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>
> ... Wir sagen, dass eine quadr. Gleichung f(x) als
> konsistent zu bezeichnen ist, wenn sie eine Lösung x mit
> f(x) = 0 besitzt...
>
> Kann man wohl als Gleichungssystem lösen , oder?
>
Nicht immer. Nimm mal [mm] $f(x,y)=x^2+y^2+1$. [/mm] Da kannst du über [mm] \IR [/mm] nichts lösen.
Ansonsten kannst du immer versuchen die Gleichung f(x)=0 nach $y$ umstellen, aber das muss auch nicht sein. Ist die Funktion in der Form f(x)=0 gegeben, so nennt man das implizite Darstellung
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> Vielleicht noch eine eigentlichwichtige Frage:
> Wozu dient diese Thematik? Untersucht man damit Schnitte
> bei geometrischen Figuren? Und wenn ja, wonach sucht man?
>
Gute Anwendungen fallen mir gerade keine ein. Ich weiß auch nicht, wie ergiebig das Thema noch ist. Ich lasse die Frage deshalb mal auf halb beantwortet.
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> Liebe Grüße,
>
> Evelyn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Di 14.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Grüzzi,
> > Vielleicht noch eine eigentlichwichtige Frage:
> > Wozu dient diese Thematik? Untersucht man damit
> Schnitte
> > bei geometrischen Figuren? Und wenn ja, wonach sucht man?
> >
>
> Gute Anwendungen fallen mir gerade keine ein. Ich weiß
> auch nicht, wie ergiebig das Thema noch ist. Ich lasse die
> Frage deshalb mal auf halb beantwortet.
Ich werfe mal etwas in den Raum, was eventuell ausgeschlachtet werden möchte: Bestimmung von Extrempunkten im Mehrdimensionalen.
Da hat man auch quadratische Formen -> Hesse-Matrix.
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vielen vielen Dank ! toller Link!
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