Quadratische Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Kristof |
Hallo,
Mal wieder ein Problem. Vielleicht ist es auch richtig so, nur habe es anders gelernt. Sollen Die Therma in Matritzen umwandeln und dann die Werte für errechen.
Beispielaufgabe :
x + y = 1
x + z = 6
z - y = 5
Habe im GTR die Daten für die Matrix 3 x 4 so eingegeben :
x y z Ergebnis
_________________
1 1 0 1
1 0 1 6
0 -1 1 5
_________________
Ausgerechnet kam dann folgendes :
1 0 1 6
0 1 -1 -5
0 0 0 0
Irgendwie ist das doch merkwürdig, ich habe es so gelernt das das ausgerechnete so aussehen müsste :
1 0 0 Zahl 1
0 1 0 Zahl 2
0 0 1 Zahl 3
Aber das trifft oben ja nicht zu ist das normal? Hat das einen Grund, weil kann mir das nicht erklären, habe es so oft in den GTR eingegeben und es kam immer das raus :(
Genau wie bei dieser Aufgabe :
x + y - 3z
2x +2y- 6z
-3x-3y+ 9z
x y z Ergebnis
_________________
1 1 -3 2
2 2 -6 5
-3 -3 9 -6
_________________
Ausgerechnet wieder folgende sehr fragwürdige Matrix :
1 1 -3 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Irgendwas kann doch da nicht stimmen oder?
Habe es immer als 3 x 4 Matrix eingegeben...
Weil es ja dem auch entspricht. Bei der ganzen Aufgabe errechnet der TR solch komische Matritzen (wird das so geschrieben?), aber ist das denn richtig? Komme irgendwie gerade gar nicht klar.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Dankeschön
|
|
| |
|
Hallo Kristof!
> Hallo,
> Mal wieder ein Problem. Vielleicht ist es auch richtig so,
> nur habe es anders gelernt. Sollen Die Therma in Matritzen
> umwandeln und dann die Werte für errechen.
>
> Beispielaufgabe :
>
> x + y = 1
> x + z = 6
> z - y = 5
>
> Habe im GTR die Daten für die Matrix 3 x 4 so eingegeben :
>
> x y z Ergebnis
> _________________
>
> 1 1 0 1
> 1 0 1 6
> 0 -1 1 5
> _________________
>
> Ausgerechnet kam dann folgendes :
>
> 1 0 1 6
> 0 1 -1 -5
> 0 0 0 0
>
> Irgendwie ist das doch merkwürdig, ich habe es so gelernt
> das das ausgerechnete so aussehen müsste :
>
> 1 0 0 Zahl 1
> 0 1 0 Zahl 2
> 0 0 1 Zahl 3
>
> Aber das trifft oben ja nicht zu ist das normal? Hat das
> einen Grund, weil kann mir das nicht erklären, habe es so
> oft in den GTR eingegeben und es kam immer das raus :(
So etwas kann durchaus vorkommen. Wenn man dein Ergebnis jetzt mal wieder aus der Matrixschreibweise zurückverwandelt, erhält man:
x+z=6 [mm] \gdw [/mm] x=6-z
y-z=-5 [mm] \gdw [/mm] y=-5+z
Nun kannst du dein z beliebig wählen und erhältst eine Lösung für das LGS. Wenn du ein anderes z wählst, erhältst du eine andere Lösung. Das bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt - in Abhängigkeit einer Variablen (in diesem Fall von z).
> Genau wie bei dieser Aufgabe :
>
> x + y - 3z
> 2x +2y- 6z
> -3x-3y+ 9z
>
> x y z Ergebnis
> _________________
>
> 1 1 -3 2
> 2 2 -6 5
> -3 -3 9 -6
> _________________
>
> Ausgerechnet wieder folgende sehr fragwürdige Matrix :
>
> 1 1 -3 0
> 0 0 0 1
> 0 0 0 0
>
> Irgendwas kann doch da nicht stimmen oder?
> Habe es immer als 3 x 4 Matrix eingegeben...
> Weil es ja dem auch entspricht. Bei der ganzen Aufgabe
> errechnet der TR solch komische Matritzen (wird das so
> geschrieben?), aber ist das denn richtig? Komme irgendwie
> gerade gar nicht klar.
> Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
> Dankeschön
Hier hast du in der zweiten Zeile einen Widerspruch stehen - da steht ja quasi
0=1
das kann aber nicht sein, also besitzt das LGS gar keine Lösung.
Habt ihr solche Fälle denn noch nicht im Unterricht gehabt? Evtl. findest du darüber etwas unter dem Stichwort  Gauß-Algorithmus oder Gauß-Verfahren, oder natürlich auch einfach unter "lineares Gleichungssystem".
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Kristof |
> Habt ihr solche Fälle denn noch nicht im Unterricht gehabt?
> Evtl. findest du darüber etwas unter dem Stichwort
> Gauß-Algorithmus oder Gauß-Verfahren, oder natürlich
> auch einfach unter "lineares Gleichungssystem".
>
Nein, haben wir nicht. Haben es nur kurz angesprochen und unser Lehrer hat uns erklärt wie man es in den GTR eingibt und das war's. Haben es bei einer Hausaufgabe überprüft (da ging ab alles). War dann im diesem Stil von :
1 0 0 Zahl1
0 1 0 Zahl2
0 0 0 Zahl3
Aber danke dir trotzdem nochmal ;)
Hast mir sehr geholfen, dachte schon ich mache irgendwas falsch, oder mein GTR spinnt. Habe es wirklich 10x eingegeben, jede Aufgabe +g+.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 06.10.2005 | | Autor: | Kristof |
Hi,
Heute hat mein Mathelehrer das Thema mit den "Spezial" Fällen von Matrizen mal angesprochen. Habe nun mal eine Frage zu einer Aufgabe :
x-2y+3z =9
3x+8y +9z=5
2x+3y+6z =7
________________
Die Matrix würde lauten :
1 2 3 9
3 8 9 5
2 3 6 7
_________________
GTR ausgerechnet :
1 0 3 5,857 (gerundet)
0 1 0 -1,571 (gerundet)
0 0 0 0
Eine Lösung für die gleichung wäre doch :
x = 5,857
y =-1,571
z = 3,333333333*10^-4
Wäre das so richtig?
Habe einfach x u. y in die 1. Gleichung eingesetzt und dann einfach z errechnet. Wie es ginge. Wäre das so in Ordnung?
Dann ist da noch ein Frage +g+
Aufgabe :
x -2y-3z =1
2x+3y-z = 4
7x +14y-z =15
________________
Ausgerechnete Matrix mit GTR :
1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
0 0 0 0
Nun wollte ich es ähnlich wie oben machen.
Allerdings konnte ich z nicht errechnen.
Es käme immer im letzten Schritt nicht hin.
Ist dieses Gleichungssystem dann nicht zu lösen?
|
|
|
| |
|
Hallo Kristof!
> Hi,
> Heute hat mein Mathelehrer das Thema mit den "Spezial"
> Fällen von Matrizen mal angesprochen. Habe nun mal eine
Ah - siehst du mal. 
> Frage zu einer Aufgabe :
>
> x-2y+3z =9
> 3x+8y +9z=5
> 2x+3y+6z =7
>
> ________________
> Die Matrix würde lauten :
>
> 1 2 3 9
> 3 8 9 5
> 2 3 6 7
Vielleicht war es nur ein Tippfehler, aber in der ersten Zeile muss es -2 heißen.
> _________________
> GTR ausgerechnet :
>
> 1 0 3 5,857 (gerundet)
> 0 1 0 -1,571 (gerundet)
> 0 0 0 0
>
> Eine Lösung für die gleichung wäre doch :
> x = 5,857
> y =-1,571
> z = 3,333333333*10^-4
Wie kommst du denn dann auf diese Lösung? In deinem umgeformten Gleichungssystem steht doch in der letzten Zeile 0=0 - das heißt, für das z kannst du alles einsetzen, wenn du danach nur x und y richtig wählst.
In der vorletzten Zeile heißt es doch:
y=-1,571 - das wäre also richtig, aber das x hängt von z ab, und da du für z alles einsetzen kannst, kannst du auch keinen konkreten Wert für x angeben. Es müsste heißen:
x=5,857-3z
Wenn du nun, wie ich schon sagte, z beliebig wählst, erhältst du ein x. Wählst du z anders, erhältst du ein anderes x. Usw.. Das y muss allerdings immer so bleiben.
Beachte aber auch noch, dass du ja evtl. mit der falschen Matrix gerechnet hast (nämlich mit der 2 statt der -2). Übrigens kannst du deine Ergebnisse immer selber kontrollieren, indem du sie einfach einsetzt. Und wenn du dann immer noch nicht klarkommst, kannst du hier nachfragen.
> Wäre das so richtig?
> Habe einfach x u. y in die 1. Gleichung eingesetzt und dann
> einfach z errechnet. Wie es ginge. Wäre das so in Ordnung?
Wie hast du denn y in die 1. Gleichung eingesetzt, dort kommt es doch gar nicht vor!? Ansonsten wäre es so richtig.
> Dann ist da noch ein Frage +g+
>
> Aufgabe :
>
> x -2y-3z =1
> 2x+3y-z = 4
> 7x +14y-z =15
>
> ________________
> Ausgerechnete Matrix mit GTR :
>
> 1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
> 0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
> 0 0 0 0
>
> Nun wollte ich es ähnlich wie oben machen.
> Allerdings konnte ich z nicht errechnen.
> Es käme immer im letzten Schritt nicht hin.
> Ist dieses Gleichungssystem dann nicht zu lösen?
Kannst du das nach meiner obigen Erklärung jetzt lösen? Hier kannst du wieder z beliebig wählen (theoretisch könntest du auch z in Abhängigkeit von x oder y angeben, das ist ganz egal wie rum, aber eine Variable ist beliebig wählbar), und in dessen Abhängigkeit dann x und y "berechnen".
Ein Gleichungssystem ist nur dann nicht lösbar, wenn du irgendwo einen Widerspruch erhältst, so wie letztens glaube ich in einer Aufgabe, wo dann 0=1 oder so ähnlich stand. Wenn du aber irgendwo eine Nullzeile bekommst, dann ist das LGS lösbar und zwar in Abhängigkeit von einer der Variablen (es gibt also unendlich viele Lösungen). Das ist dann genauso, wie wenn du von Anfang an nur zwei Gleichungen mit drei Unbekannten gehabt hättest. Ein solches Gleichungssystem ist doch auch lösbar, nur nicht eindeutig, sondern es gibt unendlich viele Lösungen.
Ich glaube, man muss sich da ein bisschen dran gewöhnen. Mir haben damals unendlich viele Rechnungen (übrigens ohne so einen tollen Taschenrechner, ich habe die Matrizen immer von Hand umgeformt, was mir auch dazu verholfen hat, dass ich das jetzt wirklich kann ) geholfen.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 06.10.2005 | | Autor: | Kristof |
Ah!
Jetzt hab ich's verstanden. Okay, also die 1. Aufgabe hab ich nun gelöst. Klapt supi bis auf 0,003 minimale Abweichung (was sicherlich durch's runden kommt).
Aber 2 geht nicht.
Guck dir das mal an...
> > Aufgabe :
> >
> > x -2y-3z =1
> > 2x+3y-z = 4
> > 7x +14y-z =15
> >
> > ________________
> > Ausgerechnete Matrix mit GTR :
> >
> > 1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
> > 0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
> > 0 0 0 0
Habes es so gemacht.
x = 3,1
y = 0,3
z = 0,5
Habe das x von z abhängig errechnet. Nun kann ich es in die Gleichung x -2y-3z =1 eingeben und es klappt.
Gebe ich die Gleichen Werte in 2x+3y-z = 4 ein, kommt ein völlig anderes ergebnis raus. Was dann nicht mehr dem der Gleichung entspricht.
Wieder ein Sonderfall? Ich dreh noch durch... :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Do 06.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Kristof!
> Ah!
> Jetzt hab ich's verstanden. Okay, also die 1. Aufgabe hab
> ich nun gelöst. Klapt supi bis auf 0,003 minimale
> Abweichung (was sicherlich durch's runden kommt).
>
> Aber 2 geht nicht.
> Guck dir das mal an...
>
> > > Aufgabe :
> > >
> > > x -2y-3z =1
> > > 2x+3y-z = 4
> > > 7x +14y-z =15
> > >
> > > ________________
> > > Ausgerechnete Matrix mit GTR :
> > >
> > > 1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
> > > 0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
> > > 0 0 0 0
>
> Habes es so gemacht.
> x = 3,1
> y = 0,3
> z = 0,5
Woher kommt denn dein y? Wenn du z=0,5 wählst, steht ja in der zweiten Zeile (umgeformt): [mm]y=0,3-0,7*0,6=-0,05[/mm] Und dann kommt für x natürlich auch was anderes raus.
> Habe das x von z abhängig errechnet. Nun kann ich es in die
> Gleichung x -2y-3z =1 eingeben und es klappt.
> Gebe ich die Gleichen Werte in 2x+3y-z = 4 ein, kommt ein
> völlig anderes ergebnis raus. Was dann nicht mehr dem der
> Gleichung entspricht.
> Wieder ein Sonderfall? Ich dreh noch durch... :-(
Nein es ist der gleiche Fall wie vorhin, nur dass das y diesmal auch von z abhängt. Du musst immer zuerst die beliebige Variable (hier also das z) wählen (oder es als Variable stehen lassen, dann bekommst du als Lösung keine Zahlen sondern einen Ausdruck in dem z noch vorkommt) und dann setzt du überall wo z vorkommt, das ein, was du dafür gewählt hast. Dann musst du noch nach den anderen Variablen auflösen. Das geht nicht mit dem Taschenrechner, das musst du schon von Hand einsetzen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 Do 06.10.2005 | | Autor: | Kristof |
> > > > x -2y-3z =1
> > > > 2x+3y-z = 4
> > > > 7x +14y-z =15
> > > >
> > > > ________________
> > > > Ausgerechnete Matrix mit GTR :
> > > >
> > > > 1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
> > > > 0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
> > > > 0 0 0 0
Verstehe es einfach nicht, wie ich das errechnen soll. Sitze die ganze Zeit davor, und probiere und Probiere. :( Bitte macht mir mal ein Beispiel vor, damit ich es von der Rechnung her verstehe. Danach werde ich natürlich noch weitere Lösungen suchen.
Dankeschön
|
|
|
| |
|
Hallo!
Hast du meine Antwort nicht gelesen? Wenn du etwas nicht verstehst, frage bitte nach. Aber ich denke, das ist genau so ein Beispiel, wie du es haben willst, oder?
Bastiane
|
|
|
| |
|
Hallo Kristof!
> Aber 2 geht nicht.
> Guck dir das mal an...
>
> > > Aufgabe :
> > >
> > > x -2y-3z =1
> > > 2x+3y-z = 4
> > > 7x +14y-z =15
> > >
> > > ________________
> > > Ausgerechnete Matrix mit GTR :
> > >
> > > 1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
> > > 0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
> > > 0 0 0 0
>
> Habes es so gemacht.
> x = 3,1
> y = 0,3
> z = 0,5
Du hast ja schon wieder nur eine Lösung angegeben. Das gibt in einer Klausur aber nicht wirklich viele Punkte. In der Regel sind alle Lösungen gesucht!
Also:
y+0,7z=0,3 [mm] \gdw [/mm] y=0,3-0,7z
x-1,6z=1,6 [mm] \gdw [/mm] x=1,6-1,6z
Damit ist die Lösungsmenge für dein LGS [mm] \IL=\{(x,y,z):x=1,6-1,6z;\; y=0,3-0,7z\}
[/mm]
Damit hast du wirklich alle Lösungen angegeben.
Verstehst du das jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 06.10.2005 | | Autor: | Kristof |
> > > > Aufgabe :
> > > >
> > > > x -2y-3z =1
> > > > 2x+3y-z = 4
> > > > 7x +14y-z =15
> > > >
> > > > ________________
> > > > Ausgerechnete Matrix mit GTR :
> > > >
> > > > 1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
> > > > 0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
> > > > 0 0 0 0
> >
> > Habes es so gemacht.
> > x = 3,1
> > y = 0,3
> > z = 0,5
>
> Du hast ja schon wieder nur eine Lösung angegeben. Das gibt
> in einer Klausur aber nicht wirklich viele Punkte. In der
> Regel sind alle Lösungen gesucht!
>
> Also:
>
> y+0,7z=0,3 [mm]\gdw[/mm] y=0,3-0,7z
> x-1,6z=1,6 [mm]\gdw[/mm] x=1,6-1,6z
>
> Damit ist die Lösungsmenge für dein LGS
> [mm]\IL=\{(x,y,z):x=1,6-1,6z;\; y=0,3-0,7z\}[/mm]
>
> Damit hast du wirklich alle Lösungen angegeben.
>
> Verstehst du das jetzt?
>
Ja, ich verstehe es. Aber wenn ich es rechne klappt es nicht.
Guck mal. Möchte jetzt einfach eine Beispiellösung.
Sagen wir mal ich nehme für z = 2
y+0,7z=0,3 [mm]\gdw[/mm] y=0,3-0,7z
x-1,6z=1,6 [mm]\gdw[/mm] x=1,6-1,6z
Würde dann für y Rechnen :
y = 0,3-0,7*2
y = -1.1
Für x wäre es dann :
x = 1,6-1,6*2
x = -1.6
Würde ich es zur Überprüfung in den folgenden Therm eingeben :
7x +14y-z =15
Kommt nicht 15 sondern -28,6 raus.
Was mache ich da die ganze Zeit falsch?
Sorry, hatte dein Beitrag nicht gelesen deswegen der Voreilige Beitrag +g+
|
|
|
| |
|
Hallo Kristof!
> > > > > Aufgabe :
> > > > >
> > > > > x -2y-3z =1
> > > > > 2x+3y-z = 4
> > > > > 7x +14y-z =15
> > > > >
> > > > > ________________
> > > > > Ausgerechnete Matrix mit GTR :
> > > > >
> > > > > 1 0 -1,6 (gerundet) 1,6 (gerundet)
> > > > > 0 1 0,7 (gerundet) 0,3 (gerundet)
> > > > > 0 0 0 0
> > >
> > > Habes es so gemacht.
> > > x = 3,1
> > > y = 0,3
> > > z = 0,5
> >
> > Du hast ja schon wieder nur eine Lösung angegeben. Das gibt
> > in einer Klausur aber nicht wirklich viele Punkte. In der
> > Regel sind alle Lösungen gesucht!
> >
> > Also:
> >
> > y+0,7z=0,3 [mm]\gdw[/mm] y=0,3-0,7z
> > x-1,6z=1,6 [mm]\gdw[/mm] x=1,6-1,6z
> >
> > Damit ist die Lösungsmenge für dein LGS
> > [mm]\IL=\{(x,y,z):x=1,6-1,6z;\; y=0,3-0,7z\}[/mm]
> >
> > Damit hast du wirklich alle Lösungen angegeben.
> >
> > Verstehst du das jetzt?
> >
> Ja, ich verstehe es. Aber wenn ich es rechne klappt es
> nicht.
> Guck mal. Möchte jetzt einfach eine Beispiellösung.
> Sagen wir mal ich nehme für z = 2
Das sollst du aber eigentlich gar nicht! Wenn du deine Rechnung überprüfen möchtest, dann solltest du lieber für z das z einsetzen, für y 0,3-0,7z und für x 1,6-1,6z. Dann weißt du auch, ob es wirklich stimmt.
> y+0,7z=0,3 [mm]\gdw[/mm] y=0,3-0,7z
> x-1,6z=1,6 [mm]\gdw[/mm] x=1,6-1,6z
>
> Würde dann für y Rechnen :
> y = 0,3-0,7*2
> y = -1.1
>
> Für x wäre es dann :
> x = 1,6-1,6*2
> x = -1.6
>
> Würde ich es zur Überprüfung in den folgenden Therm
> eingeben :
> 7x +14y-z =15
>
> Kommt nicht 15 sondern -28,6 raus.
> Was mache ich da die ganze Zeit falsch?
Wahrscheinlich hast du dich beim Eintippen der Matrix vertan oder dein Taschenrechner hat falsch gerechnet. Ich kann hier jedenfalls keinen Fehler finden. Probiere es doch vielleicht wirklich mal mit der Komplettlösung. Oder nimm eine andere Aufgabe.
> Sorry, hatte dein Beitrag nicht gelesen deswegen der
> Voreilige Beitrag +g+
Ok.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
|
