Quadratische Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Rechteck hat den Umfang 26 cm. Bei welcher Seitenlänge x ist die Fläche des Rchtecks am größten? |
Wie berechne ich hier die maximal mögliche Fläche? Wie man die Seitenlänge bei einer gegebenen Fläche berechnet ist mir klar, aber das kapiere ich nicht. Insbesondere da nur eine Seite mit x bezeichnet ist und die zweite Seite des Rechtecks (sie ist in der Zeichnung im Buch kürzer als x) überhaupt nicht bezeichnet wird.
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank schon mal für die Mühe.
Liebe Grüße,
Isabella K.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 02.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo, herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Frage bleibt unbeantwortet, da ich mir nicht sicher bin, ob man in der <10 Klasse schon etwas von Extremwertaufgaben gehört hat bzw vom Ableiten.
> Ein Rechteck hat den Umfang 26 cm. Bei welcher Seitenlänge
> x ist die Fläche des Rchtecks am größten?
> Wie berechne ich hier die maximal mögliche Fläche? Wie man
> die Seitenlänge bei einer gegebenen Fläche berechnet ist
> mir klar, aber das kapiere ich nicht. Insbesondere da nur
> eine Seite mit x bezeichnet ist und die zweite Seite des
> Rechtecks (sie ist in der Zeichnung im Buch kürzer als x)
> überhaupt nicht bezeichnet wird.
>
> Kann mir da jemand helfen?
Weißt du, was Extremwertaufgaben sind? Schon einmal etwas von Ableiten gehört? Weil nur dann gilt meine Anwort.
Wie lauteten denn die Formel für den Umfang eines Rechtecks? Wie lautet die Formel für den Flacheninhalt des Rechtecks?
U = 2a+2b
A= a*b
In deinem Buch wurde jetzt beispielsweise a als x definiert und b eben gar nicht, nennen wir b mal y. Dann ergeben sich die Gleichungen
U = 2x+2y
A=x*y
Der Umfang ist gegeben, nämlich U=26, das heißt für die erste Gleichung
26 = 2x+2y
Das stellt man dann beispielsweise nach x um und setzt es in die Flächeninhaltsformel ein
A(x)=....*x ; woraus sich dann eine quadratische Gleichung ergibt, die man dann ableitet, gleich null setzt und auflöst.
> Vielen Dank schon mal für die Mühe.
>
> Liebe Grüße,
>
> Isabella K.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG,
Disap
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 02.04.2006 | | Autor: | jospeed |
Falls dein math. Background noch stimmt, dürfte es schwierig sein, die Aufg. zu lösen, da du wie bereits angesprochen eine Ableitung benötigst.
Falls ihr das aber schon besprochen habt, hätte ich auch eine Lösung.
Der Flächeninhalt dürfte maximal werden, wenn es ein Quadrat wird, das heißt das Endergebnis heißt a=6,5LE.
Kannst ja mal bischen rumbasteln, und dich ggf. nochmal melden.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:04 So 02.04.2006 | | Autor: | Isabella_K |
Hallo Jospeed,
danke für die schnelle Antwort. Wie geht das mit der Ableitung? Das mit dem Quadrat leuchtet mir ein. Nur geht es in der Aufgabe um ein Rechteck (genauer heißt es, dass ein 18 cm langer Draht zu einem Rechteck gebogen wird).
Danke für Deine Hilfe!!!
Liebe Grüße von
Isabella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 02.04.2006 | | Autor: | jospeed |
Hi,
ähhm Moment mal, jetzt hab ich ein kleines Problem.
Vorhin hast du gesagt, dass der Umfang 26cm wäre, jetzt ist es aber ein 18cm langer Draht, alsu u=18cm??
Was ist jetzt richtig?
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Hallo Isabella!
> danke für die schnelle Antwort. Wie geht das mit der
> Ableitung? Das mit dem Quadrat leuchtet mir ein. Nur geht
> es in der Aufgabe um ein Rechteck (genauer heißt es, dass
> ein 18 cm langer Draht zu einem Rechteck gebogen wird).
Jetzt wäre es aber doch mal schön, zu wissen, welchen math. Background du hast, denn wenn du Ableitungen und so schon kennst, dann ist das eine typische Extremwertaufgabe. Ansonsten - siehe eine der Antworten weiter unten.
Zur Ableitung:
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist $A=x*y$. Der Umfang: $U=2x+2y$. Nun soll die Fläche maximal werden, der Umfang beträgt 18. Wir haben also $A(x,y)=x*y$ als Zielfunktion und $2x+2y=18$ als Nebenbedingung. Diese Nebenbedingung können wir nach x (oder auch y) auflösen:
$2x+2y=18$ [mm] \gdw [/mm] $2x=18-2y$ [mm] \gdw [/mm] $x=9-y$
dies setzen wir in die Zielfunktion ein und erhalten:
[mm] A(y)=(9-y)*y=9y-y^2
[/mm]
Das ist nun unsere Funktion, die wir maximieren müssen. Das heißt, wir suchen einen Hochpunkt, und den finden wir über die Ableitung. Dafür muss nämlich die erste Ableitung =0 sein und die zweite Ableitung <0. Die erste Ableitung ist:
$A'(y)=9-2y$
wenn dies =0 sein soll, haben wir:
$9-2y=0 [mm] \gdw [/mm] 2y=9 [mm] \gdw [/mm] y=4,5$
Die zweite Ableitung ist: $A''(y)=-2$ - dies ist kleiner 0 also haben wir tatsächlich einen Hochpunkt, nämlich an der Stelle y=4,5.
Um x zu berechnen setzen wir unser y einfach in die obige Funktion ein:
$x=9-y [mm] \Rightarrow [/mm] x=9-4,5=4,5$
wir haben also tatsächlich ein Quadrat.
Das kannst du dir merken: Bei Rechtecken mit gegebenem Umfang hat immer das Quadrat den größten Flächeninhalt. So kannst du deine Lösung im Nachhinein "kontrollieren".
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 So 02.04.2006 | | Autor: | Mato |
Hallo!
Das Thema Ableitung macht man normalerweise Ende 11. Klasse, also kann das nicht der Rechenweg sein.
Aber man kann mit dem Scheitelpunkt weiterkommen, denn gesucht ist ein Maximum, der größte Flächeninhalt nämlich, und der Scheitelpunkt einer negativen quadratischen Funktion ist die höchste "Stelle" des Graphen.
Gegeben ist zunächst: U=26 und allgemein U=2a+2x
Dann ist der Flächeninhalt eines Rechtecks A=a*x.
Wenn du nun 26=2a+2x nach z.B. a auflöst, dann kannst du dies für a in A setzen: Für a kommt raus: a=13-x und in A folgt: [mm] A(x)=13x-x^2
[/mm]
Mit der Scheitelpunktsform kommst du dann auf:
[mm] A(x)=-(x-6,5)^2+42,25, [/mm] also ist x=6,5.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 So 02.04.2006 | | Autor: | Isabella_K |
Hallo Joespeed,
da hast Du wirklich recht. Ich habe da versehentlich eine Zahl aus einer anderen Aufgabe eingesetzt. Der Draht ist tatsächlich 18 cm lang und entspricht dem Umfang des Rechtecks. Die Zahl 26 cm stammt aus einer anderen Aufgabe hier im Forum, die ich nachgerechnet habe.
Sorry für die Verwechslung.
Liebe Grüße,
Isabella
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