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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 12.09.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}n*(n+1)*(2n+1) [/mm] |
Diese Formel ist bekannt, ihre Herleitung kann auf verschiedene Wege erreicht werden.
Ich würde sie gerne mit elementaren Mitteln und der Summe [mm] \summe_{i=1}^{n}i=\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] herleiten, aber ohne [mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=\summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=i}^{n}j) [/mm] zu verwenden.
Ansatz:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i+\summe_{i=1}^{n}i^2=x+\bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Nun möchte ich [mm] \summe_{i=1}^{n}i*(i+1) [/mm] so umschreiben, dass ein Vielfaches von [mm] i^2 [/mm] dabei ist, ich es oben einsetzen kann, und nach x auflöse.
Mir ist aber nur folgende Äquivalenz aufgefallen: [mm] \summe_{i=1}^{n}i*(i+1)=2*\summe_{i\in\{2,4,6,...\}}^{n}i^2
[/mm]
Dies hilft mir jedoch nicht weiter, vielleicht hat jemand von euch einen Hinweis.
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Hallo,
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}n*(n+1)*(2n+1)[/mm]
> Diese Formel ist bekannt, ihre Herleitung kann auf
> verschiedene Wege erreicht werden.
>
> Ich würde sie gerne mit elementaren Mitteln und der Summe
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i=\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] herleiten, aber ohne
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^2=\summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=i}^{n}j)[/mm] zu
> verwenden.
Mal eine ganz naive Frage: hältst du in diesem Zusammmenhang die Vollständige Induktion für nicht elementar?
> Ansatz:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i+\summe_{i=1}^{n}i^2=x+\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
>
> Nun möchte ich [mm]\summe_{i=1}^{n}i*(i+1)[/mm] so umschreiben,
> dass ein Vielfaches von [mm]i^2[/mm] dabei ist, ich es oben
> einsetzen kann, und nach x auflöse.
>
> Mir ist aber nur folgende Äquivalenz aufgefallen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i*(i+1)=2*\summe_{i\in\{2,4,6,...\}}^{n}i^2[/mm]
>
> Dies hilft mir jedoch nicht weiter, vielleicht hat jemand
> von euch einen Hinweis.
Die am Ende angeführte Äquivalenz ist falsch. Denn:
1*2=2
2*3=6
3*4=12
etc.
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube, der Versuch, hier etwas 'einfacheres' als die Vollständige Induktion zu finden, ist zum Scheitern verurteilt.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mir ist aber nur folgende Äquivalenz aufgefallen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i*(i+1)=2*\summe_{i\in\{2,4,6,...\}}^{n}i^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Äquivalenz ?? Du meinst wohl Gleichung oder Formel ....
\summe_{i\in\{2,4,6,...\}}^{n} macht so keinen Sinn !
Sinnvoller wirds, wenn n gerade ist.
Aber es gilt tatsächlich:
(*) \summe_{i=1}^{2k}i(i+1)=2*\summe_{i=1}^{k}(2i)^2 für k \in \IN.
Beweise das (am besten induktiv) !
Dieser Induktionsbeweis ist auch nicht kürzer als der für
(**) $ \summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}n\cdot{}(n+1)\cdot{(2n+1) $.
Dass Dir (*) für den Beweis von (**) hilfreich ist, bezweifle ich.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Do 13.09.2012 | | Autor: | kalifat |
Ich möchte [mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2n+1)
[/mm]
nicht induktiv beweisen, sondern die Herleitung finden.
Zuerst muss jemand herausgefunden haben, dass bei der Aufsummierung von [mm] 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\bruch{1}{6}n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2n+1)
[/mm]
herausgekommen ist. Die Induktionsbeweise sind trivial.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Fr 14.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ich möchte
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2n+1)[/mm]
>
> nicht induktiv beweisen, sondern die Herleitung finden.
>
> Zuerst muss jemand herausgefunden haben, dass bei der
> Aufsummierung von
> [mm]1^2+2^2+3^2+...+n^2=\bruch{1}{6}n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2n+1)[/mm]
>
> herausgekommen ist. Die Induktionsbeweise sind trivial.
Vermutlich hat sich jemand über die Zerlegung der Zahlen der ersten Suumanden in Primfaktoren oder Teilermengen Gedanken gemacht, und dabei eine gewisse Regelmäßigkeit gefunden.
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Hast du an sowas gedacht?
[mm] n^3+3n^2+3n=(n+1)^3-1=\summe_{i=1}^{n}(i+1)^3-\summe_{i=1}^{n}(i)^3 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}3i^2+3i+1=\summe_{i=1}^{n}3i^2+\summe_{i=1}^{n}3i+\summe_{i=1}^{n}1=3\summe_{i=1}^{n}i^2+3*\bruch{n(n+1)}{2}+n
[/mm]
[mm] =>n^3+3n^2+3n-3*\bruch{n(n+1)}{2}-n=3\summe_{i=1}^{n}i^2
[/mm]
Wenn man hier jetzt noch die linke Seite zummenfasst, faktorisiert und anschließend beide Seiten durch 3 teilt, erhält man die gewünschte Formel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Mo 17.09.2012 | | Autor: | kalifat |
Ja an soetwas habe ich in etwa gedacht, nur eine Frage habe ich dazu. Was veranlasst dich dazu genau
[mm] (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 [/mm] zu betrachten ? Einfach durch Herumprobieren, um anschließend festzustellen, dass der Faktor [mm] i^3 [/mm] bei der Summe verschwindet, und man das gewünschte Ziel erreicht, oder bist du hier anders vorgegangen?
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Ja genau so. Das kann man beliebig fortsetzen, wenn ich nun herausfinden möchte was [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3 [/mm] ist, schaue ich mir dafür [mm] \summe_{i=1}^{n}(i+1)^4 [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n}i^4 [/mm] an. Es subtrahiert sich wieder [mm] i^4 [/mm] , sodass wir nur voraussetzen welche Werte die Summen über [mm] i^2 [/mm] i und 1 haben.
Dies geht genauso im einfachsten Fall: [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}(i+1)^2-\summe_{i=1}^{n}i^2=\summe_{i=1}^{n}(2i+1)=2\summe_{i=1}^{n}i+\summe_{i=1}^{n}1
[/mm]
Andererseits ist [mm] \summe_{i=1}^{n}(i+1)^2-\summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] = [mm] (n+1)^2-1=n^2+2n
[/mm]
Also gilt [mm] 2\summe_{i=1}^{n}i+\summe_{i=1}^{n}1 [/mm] = [mm] n^2+2n \gdw \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1}{2}
[/mm]
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Hallo kalifat,
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}n*(n+1)*(2n+1)[/mm]
> Diese Formel ist bekannt, ihre Herleitung kann auf
> verschiedene Wege erreicht werden.
>
> Ich würde sie gerne mit elementaren Mitteln und der Summe
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i=\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] herleiten,
1) Definiere "elementare Mittel".
2) Definiere "herleiten".
> aber ohne
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i^2=\summe_{i=1}^{n}(\summe_{j=i}^{n}j)[/mm] zu
> verwenden.
3) Warum?
> Ansatz:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i+\summe_{i=1}^{n}i^2=x+\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
>
> Nun möchte ich [mm]\summe_{i=1}^{n}i*(i+1)[/mm] so umschreiben,
> dass ein Vielfaches von [mm]i^2[/mm] dabei ist, ich es oben
> einsetzen kann, und nach x auflöse.
>
> Mir ist aber nur folgende Äquivalenz aufgefallen:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i*(i+1)=2*\summe_{i\in\{2,4,6,...\}}^{n}i^2[/mm]
>
> Dies hilft mir jedoch nicht weiter, vielleicht hat jemand
> von euch einen Hinweis.
Hier ganz anschaulich:
Man nehme einen Quader mit den Kantenlängen n,n+1,n+2.
Davon schneiden wir drei Scheiben der Dicke 1 und mit den anderen Seitenlängen n,n+1 herunter.
Übrig bleibt ein Quader mit den Kantenlängen n,n+1,n-1 - umgeordnet n-1,n,n+1.
Von diesem schneiden wir ... 1,n-1,n ... bleibt n-2,n-1,n.
Und so weiter. Wir enden bei einem 1*2*3-Quader, den wir schließlich in drei 1*2(*1)-Scheiben zerschneiden.
Damit ist gezeigt, dass [mm] \summe_{k=1}^{n}3k(k+1)=n(n+1)(n+2), [/mm] womit Du Deine Formel nun leicht "herleiten" kannst.
Aber ganz ehrlich, was ist das anderes als vollständige Induktion, nur rückwärts betrachtet? Bloß weil ichs schön vorbasteln kann, ist die Mathematik dahinter doch noch keine andere.
Ich habe sie nur mittelstufentauglich verpackt.
Grüße
reverend
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