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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:44 So 19.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Zeige, dass für die Gewichte einer Quadraturformel der Ordnung s mit Knoten [mm] c_1<... |
hallo,
ich habe herumprobiert aber kam leider nie zu einer lösung.
also erstmal habe ich die formel verwendet die für die überprüfung der QF dient.
[mm] \summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^{q-1} =\bruch{1}{q} [/mm] für q=1,...,p
wissen aus aufgabenstellung dass QF ordnung s hat also habe ich für q=1,...,s eingesetzt.
q=1: [mm] \summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^0=1 \Rightarrowb_1+b_2+....b_s=1
[/mm]
q=2: [mm] \summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^1= \bruch{1}{2} \Rightarrow b_1c_1+b_2c_2+...+b_sc_s= \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
q=s: [mm] \summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^^{s-1}=\bruch{1}{s} \Rightarrow b_1c_1^{s-1}+b_2c_2^{s-1}+...+b_sc_s^{s-1}=\bruch{1}{s}
[/mm]
man erhält dann s Gleichungen. was ich dann versucht habe war es diese in eine matrix zu schreiben ( ich weiß aber sellber nicht warum, weil es evtl. übersichtlicher ist)
[mm] \overbrace{ \pmat{ 1 & 1 &1&.....&1 \\ c_1&c_2 & & ......&c_s \\c_1^2&c_2^2 & &....&c_s^2\\ \vdots & \vdots & &.....&\vdots \\c_1^{s-1}&c_2^{s-1} &c_3^{s-1}&....&c_s^{s-1}}}^{s-mal}
[/mm]
außerdem wissen wir [mm] c_i=1-c_{s+1-i} [/mm] symmetrisch zu 1/2
somit haben wir
[mm] c_1 =1-c_{s}
[/mm]
[mm] c_2 =1-c_{s-1}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] c_{s-1}=1-c_2
[/mm]
[mm] c_s =1-c_1
[/mm]
wenn ich diese werte einsetze komme ich leider auch nicht weiter. leider weiß ich nicht weiter.
was ist mit symmetrisch zu 1/2 gemeint?
ist mein ansatz richtig? kann mir jemand dabei helfen?
gruß
mimo1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Di 21.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
kann mir da niemand weiterhelfen bzw. einen tipp geben? wäre dafür wirklich dankbar.
gruß,
mimo1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 21.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
mitteilung sollte eigentlich eine frage sein.
kann mir jemand einen tipp geben? der tipp kann noch so klein sein. ich bin für jede hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Mi 22.10.2014 | | Autor: | meili |
Hallo mimo1,
> Zeige, dass für die Gewichte einer Quadraturformel der
> Ordnung s mit Knoten [mm]c_1<...
> mit i=1,...,s erfüllen, [mm]b_i=b_{s+1-i}[/mm] für i=1,...,s
> gilt.
> hallo,
>
> ich habe herumprobiert aber kam leider nie zu einer
> lösung.
>
> also erstmal habe ich die formel verwendet die für die
> überprüfung der QF dient.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^{q-1} =\bruch{1}{q}[/mm] für
> q=1,...,p
>
> wissen aus aufgabenstellung dass QF ordnung s hat also habe
> ich für q=1,...,s eingesetzt.
> q=1: [mm]\summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^0=1 \Rightarrowb_1+b_2+....b_s=1[/mm]
>
> q=2: [mm]\summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^1= \bruch{1}{2} \Rightarrow b_1c_1+b_2c_2+...+b_sc_s= \bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> q=s: [mm]\summe_{i=1}^{s}b_i \cdot c_i^^{s-1}=\bruch{1}{s} \Rightarrow b_1c_1^{s-1}+b_2c_2^{s-1}+...+b_sc_s^{s-1}=\bruch{1}{s}[/mm]
>
> man erhält dann s Gleichungen. was ich dann versucht habe
> war es diese in eine matrix zu schreiben ( ich weiß aber
> sellber nicht warum, weil es evtl. übersichtlicher ist)
Ja, ein lineares Gleichungssystem mit s Gleichungen,
deiner angegbenen Matrix, gesucht sind
[mm] $b_i, [/mm] i [mm] \in \{1, \ldots ,s\}$ [/mm] und auf der rechten Seite ist der Vektor [mm] $\vektor{1 \\ \bruch{1}{2} \\ \vdots \\ \bruch{1}{s}}$.
[/mm]
>
> [mm]\overbrace{ \pmat{ 1 & 1 &1&.....&1 \\ c_1&c_2 & & ......&c_s \\c_1^2&c_2^2 & &....&c_s^2\\ \vdots & \vdots & &.....&\vdots \\c_1^{s-1}&c_2^{s-1} &c_3^{s-1}&....&c_s^{s-1}}}^{s-mal}[/mm]
>
> außerdem wissen wir [mm]c_i=1-c_{s+1-i}[/mm] symmetrisch zu 1/2
> somit haben wir
> [mm]c_1 =1-c_{s}[/mm]
> [mm]c_2 =1-c_{s-1}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]c_{s-1}=1-c_2[/mm]
> [mm]c_s =1-c_1[/mm]
>
> wenn ich diese werte einsetze komme ich leider auch nicht
> weiter. leider weiß ich nicht weiter.
Nur die Hälfte der Werte ersetzen. z.B. [mm] $c_i [/mm] = 1 - [mm] c_{s+1-i}$ [/mm] mit i = i1, [mm] \ldots [/mm] , i [mm] \le \bruch{s}{2}$
[/mm]
>
> was ist mit symmetrisch zu 1/2 gemeint?
[mm] $c_i [/mm] = 1 - [mm] c_{s+1-i}$
[/mm]
Sollte dann so aussehen wie die Stützstellen in ![[]](/images/popup.gif) dieser Tabelle.
> ist mein ansatz richtig? kann mir jemand dabei helfen?
Dein Ansatz scheint mir richtig. Ich würde dann versuchen, das
Gleichungssystem nach den [mm] $b_i$ [/mm] zu lösen. Hängen dann erstmal von den
[mm] $c_i$ [/mm] ab, aber vielleicht lässt es sich weiter so umformen,
dass [mm] $b_i [/mm] = [mm] b_{s+1-i}$ [/mm] herauskommt.
(habe ich aber nicht ausprobiert)
>
> gruß
> mimo1
>
>
Gruß
meili
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:58 Mi 22.10.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke für deine hilfe. ich habe es ausprobiert und leider komme ich nicht weiter. gibt es evtl eine ander möglich um dieses auszurechne. z.b mit lagrange polynom.
denn wir habe in der vorlesung deifniert:
[mm] b_i=\integral_{0}^{1}{l_i(x) dx}, [/mm] wobei [mm] l_i(x)=\produkt_{j\not=i}^{}\bruch{x-c_j}{c_i-c_j}
[/mm]
kann ich dann einfach setzten
[mm] b_i [/mm] schon definiert und dann [mm] l_{s+1-i}=\produkt_{j\not=i}^{}\bruch{x-c_j}{c_{s+1-i}-c_j} [/mm] soadss [mm] b_{s+1-i}=\integral_{0}^{1}{l_{s+1-i}(x) dx} [/mm] aber da muss doch die 1/2 auch eine rolle spielen, da sie symmetrisch zu 1/2 ist. heißt dass das sie im mittelpunkt des intervalls (hier wäre es [1,0] nach angabe des integrals)auf der y-achse gespiegel und dann auf der x-Achse?
bracuhe dringend hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 25.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 23.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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