Quadraturformel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Quadraturformel der Form
[mm] $\int_0^\infty e^{-x}f(x)\, dx=\frac{2+\sqrt{2}}{4}f(x_1)+\omega_2 f(x_2)$
[/mm]
mit [mm] $\omega\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $0
Hinweis:
Betrachten Sie dazu [mm] $f(x)=x^k$ [/mm] für $k=0,1,2$. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Zu erst einmal ist mir der Hinweis relativ unklar.
Warum soll ich nun ausgerechnet diese Funktionen betrachten? Ich finde es etwas eigenartig, dass an $f$ im Grunde keine Bedingung geknüpft ist, also $f$ kann ja jede beliebige Funktion sein und dann soll man Funktionen dieser einfachen "Bauart" betrachten.
Bestimme ich die Integrale für die jeweiligen k-Werte, so erhalte ich:
[mm] $\int e^{-x}\, dx=-e^{-x}$
[/mm]
[mm] $\int e^{-x}\cdot x\, dx=-e^{-x}(x+1)
[/mm]
[mm] $\int e^{-x}\cdot x^2\, dx=-e^{-x}(x^2+2x+2)$
[/mm]
Für k=0 und k=1 ist das Integral jeweils 1.
Für k=2 ist das Integral 2.
Nun kann ich für die Fälle jeweils das [mm] $\omega_2$ [/mm] berechnen.
Für k=0
[mm] $1=\frac{2+\sqrt{2}}{4}f(x_1)+\omega_2 f(x_2)$
[/mm]
[mm] $\omega_2=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$
[/mm]
Für k=1 ergibt sich (in Abhängigkeit von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$)
[/mm]
[mm] $\omega_2=\frac{1-\frac{2+\sqrt{2}}{4}x_1}{x_2}$
[/mm]
Für k=2 ergibt sich
[mm] $\omega_2=\frac{2-\frac{2+\sqrt{2}}{4}x_1^2}{x_2^2}
[/mm]
Bleibt natürlich die Frage was mir das bringt...
Vermuten lässt sich nun natürlich, dass für
[mm] $f(x)=x^n$ [/mm] mit [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] sich die Formel
[mm] $\omega_2=\frac{n!-\frac{2+\sqrt{2}}{4}x_1^n}{x_2^n}$
[/mm]
ergibt, was auch induktiv nicht schwer einzusehen sollte.
Wie gesagt stellt sich mir aber nun die Frage was mir dies für die Aufgabe bringt.
Was passiert wenn ich für $f$ beliebige Funktionen zulasse?
Oder ganz stumpf: Was verlangt die Aufgabe eigentlich von mir...
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 08.06.2015 | | Autor: | chrisno |
die exakt auf $ [mm] \mathbb{P}_3 [/mm] $
Heißt das vielleicht, dass f(x) so ein Polynom sein muss?
|
|
|
| |
|
Doch... das macht Sinn.
Das habe ich gar nicht mehr bedacht.
|
|
|
| |
|
Allerdings stellt sich mir weiterhin die Frage, was mir das für die Aufgabe bringt.
f soll also ein Polynom dritten Grades sein. Also von der Form
[mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
Nun könnte ich das Integral jeweils zerlegen.
[mm] $\lim_{a\to\infty} \int_0^a e^{-x}ax^3\, dx+\int_0^a e^{-x}bx^2\, dx+\int_0^a e^{-x}cx\, dx+\int_0^a e^{-x}d\, [/mm] dx$
Und jetzt jeweils mit dem vorherigen Ergebnis zusammenführen, da ich für die jeweiligen Teilintegrale ja ein solches [mm] $\omega_2$ [/mm] bestimmt habe.
|
|
|
| |
|
Hi,
leider bin ich bei dieser Aufgabe immer noch nicht weitergekommen.
Geht es bei der Aufgabe darum für beliebige Polynome dritten Grades immer das [mm] $\omega_2$ [/mm] anzugeben, oder was ist hier konkret zu tun.
Die Fragen sind mittlerweile Überfällig, aber an einer Bearbeitung wäre ich noch durchaus interessiert. :)
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mi 10.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich habe keine Ahnung, wie das am Ende ausgeht. Datum habe ich mich zurück gehalten. Du musst am Ende [mm] $\omega_2, x_1, x_2$ [/mm] für jedes Polynom angeben können. Diese müssen sich also aus den Koeffizienten des Polynoms bestimmen lassen.
[mm] $\omega_2$ [/mm] scheint durch die Bedingung bei k=0 festgelegt zu sein. Im allgemeineren Fall kommt nochein Faktor d dazu.
Diesen Wert von [mm] $\omega_2$ [/mm] kannst Du dann bei den Fällen k=1 und k=2 einsetzen. Daraus sollte sich ein Gleichungssystem für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] ergeben. Anschließend solten noch die Koeffizienten b und c integriert werden.
Jedoch ist mir es rätselhaft, wie dann noch die [mm] $ax^3$ [/mm] untergebracht werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 10.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs mal systematisch:
Ich glaube nicht, dass mit $ [mm] \mathbb{P}_3 [/mm] $ die Menge der Polynome mit Grad [mm] \le [/mm] 3 gemeint ist. Das entnehme ich dem
"Hinweis:
Betrachten Sie dazu $ [mm] f(x)=x^k [/mm] $ für $ k=0,1,2 $."
Wenn dem so ist, so lautet es wohl $ [mm] \mathbb{P}_2 [/mm] $.
Für k=0,1,2 sei [mm] f_k(x)=x^k [/mm] und [mm] $I_k:=\int_0^\infty e^{-x}f_k(x)\, [/mm] dx$
Sei [mm] w_1:=\frac{2+\sqrt{2}}{4}
[/mm]
1. Wir überzeugen uns von
[mm] I_0=1,I_1=1 [/mm] und [mm] I_2=2.
[/mm]
2. Die Formel soll exakt sein für [mm] f_0. [/mm] Das liefert
[mm] 1=I_0=w_1+w_2,
[/mm]
also
[mm] w_2=1-w_1=\frac{2-\sqrt{2}}{4}.
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] haben wir also schon mal dingfest gemacht !
3. Die Formel soll exakt sein für [mm] f_1. [/mm] Das liefert
[mm] 1=I_1=w_1x_1+w_2x_2.
[/mm]
4. Die Formel soll exakt sein für [mm] f_2. [/mm] Das liefert
[mm] 2=I_2=w_1x^2_1+w_2x^2_2.
[/mm]
5. Aus dem (nichtlinearen) Gleichungssystem
[mm] 1=w_1x_1+w_2x_2
[/mm]
[mm] 2=w_1x^2_1+w_2x^2_2
[/mm]
sind nun [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] so zu bestimmen, dass auch noch [mm] 0
Viel Spaß !
FRED
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Antworten.
Ich werde mich an das Lösen das Gleichungssystems machen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mi 10.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Lautet es nun $ [mm] \mathbb{P}_3 [/mm] $ oder $ [mm] \mathbb{P}_2 [/mm] $ ????
FRED
|
|
|
| |
|
In der Aufgabenstellung lautet es [mm] $\mathbb{P}_3$. [/mm] Da liegt kein Tippfehler meinerseits vor.
|
|
|
| |
|
Du hast nicht zufällig das Gleichungssystem gelöst? Ansonsten können wir unsere Ergebnisse abgleichen.
Nach langem rum rechnen komme ich auf die sehr schönen Ergebnisse
[mm] $x_1=2-\sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $x_2=2+\sqrt{2}$
[/mm]
Damit gilt auch [mm] $0
Wenn ich die Werte in meine Gleichungen einsetze komme ich wieder auf 1 und 2. Ich sollte mich also nicht verrechnet haben.
(Ein abgleichen der Ergebnisse ist daher auch eigentlich sinnlos...)
Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mi 10.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Du hast nicht zufällig das Gleichungssystem gelöst?
Nein
> Ansonsten können wir unsere Ergebnisse abgleichen.
>
> Nach langem rum rechnen komme ich auf die sehr schönen
> Ergebnisse
>
> [mm]x_1=2-\sqrt{2}[/mm]
>
> [mm]x_2=2+\sqrt{2}[/mm]
>
> Damit gilt auch [mm]0
>
> Wenn ich die Werte in meine Gleichungen einsetze komme ich
> wieder auf 1 und 2. Ich sollte mich also nicht verrechnet
> haben.
Prima !
>
> (Ein abgleichen der Ergebnisse ist daher auch eigentlich
> sinnlos...)
Sehe ich auc so
Fred
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
|
