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| Aufgabe | | Es seien (V,<*,*>) ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und f ein selbstadjungierter Endomorphismus von V ohne negative Eigenwerte. Beweisen Sie, dass ein eindeutig bestimmer selbstadjungierter Endomorphismus g von V ohne negative Eigenwerte existiert, so dass f = g [mm] \circ [/mm] g gilt. |
hallo!
also wenn man eine othonormierte Basis von V aus Eigenvektoren [mm] (v_{1},........,v_{n}) [/mm] wählt, gilt für alle i:
[mm] f(v_{i})= A_{i}*v_{i} [/mm] mit [mm] A_{i} [/mm] Eigenwert zu [mm] v_{i}.
[/mm]
dann wähle ich [mm] g(v_{i})=\wurzel(A_{i}) [/mm] * [mm] v_{i} [/mm] . dann erfüllt g die geforderten bedingungen. allerdings bekomme ich probleme bei der eindeutigkeit. als hinweis haben wir bekommen, dass man für f(v)=Av (A Eigenwert zu v) g(u) mit u=g(v) - [mm] \wurzel(A) [/mm] * v betrachten soll. allerdings komme ich da nicht weiter. kann mit jemand helfen???? vielen dank im vorraus......
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> Es seien (V,<*,*>) ein endlichdimensionaler euklidischer
> oder unitärer Vektorraum und f ein selbstadjungierter
> Endomorphismus von V ohne negative Eigenwerte. Beweisen
> Sie, dass ein eindeutig bestimmer selbstadjungierter
> Endomorphismus g von V ohne negative Eigenwerte existiert,
> so dass f = g [mm]\circ[/mm] g gilt.
> hallo!
>
> also wenn man eine othonormierte Basis von V aus
> Eigenvektoren [mm](v_{1},........,v_{n})[/mm] wählt, gilt für alle
> i:
> [mm]f(v_{i})= A_{i}*v_{i}[/mm] mit [mm]A_{i}[/mm] Eigenwert zu [mm]v_{i}.[/mm]
> dann wähle ich [mm]g(v_{i})=\wurzel(A_{i})[/mm] * [mm]v_{i}[/mm] . dann
> erfüllt g die geforderten bedingungen. allerdings bekomme
> ich probleme bei der eindeutigkeit. als hinweis haben wir
> bekommen, dass man für f(v)=Av (A Eigenwert zu v) g(u) mit
> u=g(v) - [mm]\wurzel(A)[/mm] * v betrachten soll. allerdings komme
> ich da nicht weiter. kann mit jemand helfen???? vielen dank
> im vorraus......
Hallo,
seien [mm] \lambda_i [/mm] die EWe von f und [mm] v_i [/mm] die zugehörigen EVen.
Mit [mm] g(v_i):=\wurzel{\lambda_i}v_i [/mm] hast Du die Existenz der gesuchten Abbildung gezeigt.
Nimm nun an, daß es eine weitere, hiervon verschiedene gibt.
Dann unterscheiden sich g und h auf einem Element der Basis aus Eigenvektoren.
Sei etwa v Eigenvektor von f zum EW [mm] \lambda [/mm] und sei
[mm] h(v)\not=g(v).
[/mm]
[mm] ==>0\not=x:=h(v)-g(v)=h(v)-\wurzel{\lambda}v.
[/mm]
Nun berechne (wie vorgeschlagen) h(x). Überlege Dir, was das Ergebnis dieser Bemühungen mit x zu tun hat.
Gruß v. Angela
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