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Hallo zusammen,
Kann mir jemand sagen, wie man die (a) löst? Bzw. welchen Ansatz man hier wählen sollte?
Mir ist bisher nur folgender eingefallen:
[mm] $\sqrt{1+\summe_{i=1}^{n}(2n+1)}\in\IN$
[/mm]
für n = 1 funktioniert die Sache. Aber mit n+1 hab ich meine Schwierigkeiten, die Gleichung auf etwas hinzuformen, dass man sieht, dass wieder eine natürliche Zahl bei rauskommt (oder ein Quadrat, wenn man die Wurzel weglässt).
[mm] $1+\summe_{i=1}^{n+1}(2n+1)=q^2$
[/mm]
[mm] $q\in\IN$
[/mm]
[mm] $1+\summe_{i=1}^{n+1}(2n+1)= 1+2n+2+\summe_{i=1}^{n}(2n+1)$
[/mm]
Danke und Gruß,
miniscout ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Do 05.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde mit den Laufindex k=0 anfangen,
Also
[mm] 1+3+5+7+\ldots+(2n-1)=\summe^{n}_{i=\red{0}}(2i+1)
[/mm]
Und jetzt gibt es ein q, mit [mm] q²=\summe{i=0}^{n}(2i+1)
[/mm]
Jetzt mal zum Ind-Schritt:
[mm] \summe_{i=0}^{n\red{+1}}(2i+1)
[/mm]
[mm] =\underbrace{\summe_{i=0}^{n}\left(2i+1\right)}_{:=q²}+2(n+1)+1
[/mm]
Also gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{n\red{+1}}(2i+1)-(2(n+1)+1)=q²
[/mm]
Kommst du damit erstmal weiter?
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Do 05.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht fällt Dir der Induktionsbeweis leichter, wenn Du zeigst:
[mm] $\summe_{k=0}^{n}(2k+1) [/mm] = [mm] (n+1)^2$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 18.03.2009 | | Autor: | miniscout |
Ich danke euch beiden!
LG miniscout
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Aufgabe (a)