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Hey,
zu zeigen ist, dass [mm] x=n^2+2n+5 [/mm] für für alle nat. Zahlen keine Quadratzahl ist.
Also überlegt habe ich mir bisher:
Es gilt: [mm] n^2+2n+5=n(n+2)+5, [/mm] also kann ich jetzt sagen, dass x den Rest 5 lässt, wenn ich es modulo n betrachte.
Nun würde ich eine Fallunterscheidung machen, d.h. ich betrachte jeweils eine Zahl [mm] \alpha [/mm] mit, die den Rest 0,1,2,...,(n-1) modulo n lässt. Beispiel:
[mm] \alpha\equiv [/mm] 1 mod n -> [mm] \alpha^2=n(n+2)+1\equiv [/mm] 1 mod n
oder
[mm] \alpha\equiv [/mm] 2 mod n -> [mm] \alpha^2=n(n+4)+1\equiv [/mm] 4 mod n
Also lassen alle Zahlen modulo n, wenn ich sie quadriere den Rest [mm] n^2 [/mm] modulo n, was ja wiederum 0 entspricht. Somit lässt keine Zahl den Rest 5, woraus die Behauptung folgt.
Ist diese Begründung so richtig?
mfg piccolo
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Hallo,
> Ist diese Begründung so richtig?
ich denke, deine Begründung ist richtig. Ich halte sie aber für unnötig komplitiert. Beachte doch mal
[mm] n^2+2n+5=n^2+2n+1+4
[/mm]
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > Ist diese Begründung so richtig?
>
> ich denke, deine Begründung ist richtig. Ich halte sie
> aber für unnötig komplitiert. Beachte doch mal
>
> [mm]n^2+2n+5=n^2+2n+1+4[/mm]
>
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Ich betrachte also:
[mm] n^2+2n+5=n^2+2n+1+4=(n+1)^2+4
[/mm]
Wenn ich dies so schreibe, dann könnte ich ja wieder (etwas kürzer) begründen: Jede Quadratzahl [mm] n^2 [/mm] lässt modulo n den Rest 0, was im Widerspruch zu obiger Gleichung steht.
Oder kann man dies noch anders begründen?
mfg piccolo
> Gruß, Diophant
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Hallo piccolo,
ich bin jetzt mal stillschweigend von [mm] n\in\IN [/mm] ausgegangen. Und da ist es doch so: es gibt, außer 0 und 4, keine weiteren Quadratzahlen mit Differenz 4. Da [mm] (n+1)^2\not=0 [/mm] folgt die Behauptung für mich sofort.
Kann aber sein, dass das im Rahmen des Studiums eine etwas zu 'flapsige' Begründung ist. 
Gruß, Diophant
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Hallo piccolo,
Diophant hat den richtigen Weg. Der ist ja ggf. auch etwas ausführlicher zu begründen.
Deiner ist dagegen schlicht falsch:
> zu zeigen ist, dass [mm]x=n^2+2n+5[/mm] für für alle nat. Zahlen
> keine Quadratzahl ist.
> Also überlegt habe ich mir bisher:
> Es gilt: [mm]n^2+2n+5=n(n+2)+5,[/mm] also kann ich jetzt sagen,
> dass x den Rest 5 lässt, wenn ich es modulo n betrachte.
Ja, das ist ok.
> Nun würde ich eine Fallunterscheidung machen, d.h. ich
> betrachte jeweils eine Zahl [mm]\alpha[/mm] mit, die den Rest
> 0,1,2,...,(n-1) modulo n lässt. Beispiel:
>
> [mm]\alpha\equiv[/mm] 1 mod n -> [mm]\alpha^2=n(n+2)+1\equiv[/mm] 1 mod n
> oder
> [mm]\alpha\equiv[/mm] 2 mod n -> [mm]\alpha^2=n(n+4)+1\equiv[/mm] 4 mod n
>
> Also lassen alle Zahlen modulo n, wenn ich sie quadriere
> den Rest [mm]n^2[/mm] modulo n, was ja wiederum 0 entspricht.
Wie kommst Du denn darauf? Das ist verkehrt. Sie lassen den Rest [mm] \alpha^2\mod{n}, [/mm] und das ist doch nicht das gleiche.
Man könnte höchstens zu zeigen versuchen, dass die 5 niemals so ein quadratischer Rest ist. Das klappt aber nicht, und Gegenbeispiele sind leicht zu finden:
[mm] 4^2\equiv 5\mod{11},\quad 6^2\equiv 5\mod{31} [/mm] etc.
> Somit
> lässt keine Zahl den Rest 5, woraus die Behauptung folgt.
>
> Ist diese Begründung so richtig?
Nein.
Auch die veränderte Variante in Deinem 2. Post ist aus dem gleichen Grund falsch. Du bringst x,n und [mm] \alpha [/mm] durcheinander.
Grüße
reverend
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