Quadrieren? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 09.07.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo.
Hatte hier eine Übungsaufgabe.
[mm] \wurzel{x-4}+\wurzel{x+4}=4
[/mm]
und ich sollte diese nach x auflösen.
jetzt dachte ich, ich quadriere die gesamte Gleichung um die beiden Wurzeln wegzubekommen.
dann dachte ich, es steht da
(x-4)+(x+4)=16
das wäre jetzt aber falsch,
könnte mir deshalb bitte jemand sagen wo mein Fehler ist.
danke
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Hallo Ice-Man!
Du musst auf der linken Seite der Gleichung selbstverständlich eine der binomischen Formeln anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 09.07.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok,
aber warum?
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Hallo Ice-Man,
> Ok,
> aber warum?
na, weil linkerhand eine Summe steht.
Da steht doch $a+b$, wobei $a,b$ diese Wurzelausdrücke sind
Und wenn du das quadrierst, hast du [mm] $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 09.07.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok.
Ja, das da ne Summe entsteht weis ich, und ich dachte deshalb, das ich da halt "2 Klammern addieren muss"
ich "sehe" irgendwie nicht, das dort eine binomische formel ist.
also würde jetzt in dem von mir genannten Beispiel dort stehen.
[mm] (x-2)^{2}=4
[/mm]
oder ist das falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du
$ [mm] \wurzel{x-4}+\wurzel{x+4}=4 [/mm] $
quadrierst, egibt sich:
$(x-4) [mm] +2\wurzel{x-4}\wurzel{x+4}+(x+4) [/mm] = 16$
FRED
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Hallo
> Ok.
> Ja, das da ne Summe entsteht weis ich, und ich dachte
> deshalb, das ich da halt "2 Klammern addieren muss"
> ich "sehe" irgendwie nicht, das dort eine binomische formel
> ist.
>
Die ist noch nicht dort. Erst beim quadrieren entsteht eine binomische Formel.
> also würde jetzt in dem von mir genannten Beispiel dort
> stehen.
>
> [mm](x-2)^{2}=4[/mm]
>
> oder ist das falsch?
Nenne deine Wurzeln a bzw. b.
Dann steht bei dir a + b = 4.
Wenn du das quadrierst, dann quadrierst du beide Seiten...
[mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] = [mm] 4^{2} \to [/mm] das ist falsch. Du musst die Summe quadrieren, nicht jeden Summanden.
(a + [mm] b)^{2} [/mm] = [mm] 4^{2} \to [/mm] das ist richtig. Siehst du jetzt die binomische Formel?
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Do 09.07.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, das verstehe ich.
Nur ich mal eine allgm. Frage.
Eine Wurzel ist doch im Grunde genommen "das umgekehrte" von einer quadrierung.
Und ich dachte das, wenn ich die linke Seite quadriere die Wurzeln einfach wegfallen.
Nur in der davor geposten Antwort von Fred verstehe ich nicht woher die "2fache Wurzel" kommt.
Ich meine mein Grundgedanke war ja, das die Wurzeln wegfallen, und dann stehen sie auf einmal doch wieder 2mal da.
Da "blicke" ich nicht ganz durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Do 09.07.2009 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du einfach quadrierst [mm] 5^2 [/mm] = 25.
Dann ziehst Du wieder die Wurzel [mm] \sqrt{25} [/mm] = 5.
Wenn Du aber etwas "komplizierteres" machst:
[mm] $(a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] +2ab + [mm] b^2)$ [/mm] steht im Ergebnis eben nicht [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2$.
[/mm]
Genau so ist es mit dem Wuzel ziehen:
[mm] $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} [/mm] + [mm] \sqrt{b}.
[/mm]
Pobiere es mal mit zwei Zahlen aus.
Bloß gibt es hier nicht so eine nette binomische Formel.
Jetzt zu Deinem Fall:
Wenn Du eine Geleichung durch Quadrieren umformen willst, dann quadrierst Du beide Seiten. Dazu schreibst Du um jede Seite erst einmal eine Klammer. Dann quadrierst Du die ganze Klammer. Wenn in der Klammer eine Summe steht, also a+b, dann kannst Du nicht einfach die Klammer weglassen und an a und b das Quadrat dranschreiben.
Das ist aber genau das, was Du tun willst.
[mm] $\left( \sqrt{x-4} + \sqrt{x+4}\right)^2 \ne \sqrt{x-4}^2 [/mm] + [mm] \sqrt{x+4}^2$
[/mm]
Wie es da steht, ist das aber fast immer nicht gleich.
Richtig geht es so:
[mm] $\left( \sqrt{x-4} + \sqrt{x+4}\right)^2 [/mm] = [mm] \sqrt{x-4}^2 [/mm] + [mm] 2\sqrt{x-4}\sqrt{x+4}+ \sqrt{x+4}^2$
[/mm]
eben nach der binomischen Formel.
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Einfaches Beispiel:
[mm] \wurzel{9} [/mm] + [mm] \wurzel{16} [/mm] = 7 (stimmt) | quadrieren nach deiner Methode
9 + 16 = 49 (stimmt nicht)
[mm] \wurzel{9} [/mm] + [mm] \wurzel{16} [/mm] = 7 (stimmt) | richtig quadrieren
9 + [mm] 2*\wurzel{9}*\wurzel{16} [/mm] + 16 = 49 (stimmt immer noch)
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> [mm]\wurzel{x-4}+\wurzel{x+4}=4[/mm]
>
> jetzt dachte ich, ich quadriere die gesamte Gleichung um
> die beiden Wurzeln wegzubekommen.
>
> dann dachte ich, es steht da
>
> (x-4)+(x+4)=16
>
> das wäre jetzt aber falsch,
> könnte mir deshalb bitte jemand sagen wo mein Fehler ist.
Wenn wir [mm] a=\wurzel{x-4} [/mm] , [mm] b=\wurzel{x+4} [/mm] und $\ c=4$ setzen,
machst du also aus der Gleichung
$\ a\ +\ b\ =\ c$
die neue Gleichung
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2
[/mm]
Falls diese Umformung korrekt wäre, dann
wäre Pythagoras doch ein ziemlicher
Dummkopf gewesen, hätte er doch statt
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2
[/mm]
einfach schreiben können:
$\ a\ +\ b\ =\ c$
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]\wurzel{x-4}+\wurzel{x+4}=4[/mm]
> >
> > jetzt dachte ich, ich quadriere die gesamte Gleichung um
> > die beiden Wurzeln wegzubekommen.
> >
> > dann dachte ich, es steht da
> >
> > (x-4)+(x+4)=16
> >
> > das wäre jetzt aber falsch,
> > könnte mir deshalb bitte jemand sagen wo mein Fehler ist.
>
>
> Wenn wir [mm]a=\wurzel{x-4}[/mm] , [mm]b=\wurzel{x+4}[/mm] und [mm]\ c=4[/mm]
> setzen,
> machst du also aus der Gleichung
>
> [mm]\ a\ +\ b\ =\ c[/mm]
>
> die neue Gleichung
>
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = [mm]c^2[/mm]
>
> Falls diese Umformung korrekt wäre, dann
> wäre Pythagoras doch ein ziemlicher
> Dummkopf gewesen, hätte er doch statt
>
> [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = [mm]c^2[/mm]
>
> einfach schreiben können:
>
> [mm]\ a\ +\ b\ =\ c[/mm]
Diese Erklärung ist ganz hervorragend !!
Glückwunsch.
Gruß FRED
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> LG
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