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Quadrik: Normalform
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:08 So 28.03.2010
Autor: dr_geissler

Aufgabe
Bestimmen Sie die Normalform der Quadrik,

[mm] $\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 2x_{2}-1=0\} [/mm]

Ich weiß, dass

[mm] $x^{t}Sx [/mm] = [mm] \mathca{Q}(x)$ [/mm] ist.


Ich komme aber nicht aufd meine Matrix S.

Ich dachte immer S sehe folgendermaßen aus.

$S= [mm] \pmat{ x_{1}^{2} & x_{1}x_{2} & x_{1}x_{3}\\ x_{1}x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}x_{3} \\ x_{1}x_{3} & x_{2}x_{3} & x_{3}^{2}}$ [/mm]

Aber irgendwie passen die Quadrik da nicht drauf.

Wo liegt mein Fehler?
Wie geh ich weiter vor?

Ich muss doch den Eigenraum zu S bestimmen, oder?

        
Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 So 28.03.2010
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie die Normalform der Quadrik,
>  
> [mm]$\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 2x_{2}-1=0\}[/mm]

Hallo,

das passende Stichwort ist "Hauptachsentransformation".

Ein Beispiel ist u.a. []hier vorgerechnet,
ich denke, daß es Dir helfen wird.

Gruß v. Angela

>  
> Ich weiß, dass
>  
> [mm]x^{t}Sx = \mathca{Q}(x)[/mm] ist.
>  
>
> Ich komme aber nicht aufd meine Matrix S.
>  
> Ich dachte immer S sehe folgendermaßen aus.
>  
> [mm]S= \pmat{ x_{1}^{2} & x_{1}x_{2} & x_{1}x_{3}\\ x_{1}x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}x_{3} \\ x_{1}x_{3} & x_{2}x_{3} & x_{3}^{2}}[/mm]
>  
> Aber irgendwie passen die Quadrik da nicht drauf.
>  
> Wo liegt mein Fehler?
>  Wie geh ich weiter vor?
>  
> Ich muss doch den Eigenraum zu S bestimmen, oder?


Bezug
                
Bezug
Quadrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 So 28.03.2010
Autor: dr_geissler

Das hab ich mir fast gedacht.

Aber bei dem beispiel das vorgerechnet wird, lässt sich die S durch ablesen der Faktoren bestimmen.

In meiner Quadrik fehlen aber zum beispiel [mm] x_{1}x_{2}. [/mm]

Deshalb kann ich nicht S bestimmen.


Verstehst Du mein Problem?

Bezug
                        
Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 So 28.03.2010
Autor: angela.h.b.


> Das hab ich mir fast gedacht.
>  
> Aber bei dem beispiel das vorgerechnet wird, lässt sich
> die S durch ablesen der Faktoren bestimmen.
>  
> In meiner Quadrik fehlen aber zum beispiel [mm]x_{1}x_{2}.[/mm]

Wenn's weiter nichts ist! Schreib sie halt dazu: [mm] ...+0x_1x_2. [/mm]

Gruß v. Angela

>  
> Deshalb kann ich nicht S bestimmen.
>  
>
> Verstehst Du mein Problem?


Bezug
                                
Bezug
Quadrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 So 28.03.2010
Autor: dr_geissler

Und was mach ich mit der verlorenen [mm] x_{2}? [/mm]

schreib ich da [mm] $0*x_{1} 1*x_{2}$ [/mm] ?

Wie sieht denn zur meiner Quadrik die Matrix S aus ??

Ich weiß hier keut man nicht gerne jemandem das Ergebnis vor, aber ich komme so nicht weiter.
Ich muss noch zwei andere normalisieren, die ungefähr genauso doof aussehen.

Danke

Bezug
                                        
Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 So 28.03.2010
Autor: angela.h.b.


> Und was mach ich mit der verlorenen [mm]x_{2}?[/mm]

???

Wo ist die verloren?

> > > $ [mm] $\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 2x_{2}-1=0\} [/mm] $

=$ [mm] $\mathcal{Q}(x)=\{x\in \IR^{3} | \bruch{1}{2} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+0*x_1x_2+\bruch{1}{2} x_{3}^{2}+ x_{1}x_{3}+ 0*x_1+2x_{2}+0*x_3-1=0\} [/mm] $.

Nun ist alles da!

> Wie sieht denn zur meiner Quadrik die Matrix S aus ??

Auf der Diagonalen die Koeffizienten der Quadrate, und an den anderen Plätzen jeweils 0.5*der entsprechende Koeffizient.

Gruß v. Angela

>  
> Ich weiß hier keut man nicht gerne jemandem das Ergebnis
> vor, aber ich komme so nicht weiter.
>  Ich muss noch zwei andere normalisieren, die ungefähr
> genauso doof aussehen.
>  
> Danke


Bezug
                                                
Bezug
Quadrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 So 28.03.2010
Autor: Kleine88

Die Matrix hat dann nur Zahlen als Eintrag oder? Nur was hat das -1 am ende der quadrike für ne bedeutung?


Bezug
                                                        
Bezug
Quadrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 So 28.03.2010
Autor: MathePower

Hallo Kleine88,

[willkommenmr]

> Die Matrix hat dann nur Zahlen als Eintrag oder? Nur was
> hat das -1 am ende der quadrike für ne bedeutung?
>  


Das Absolutglied (hier -1) entscheidet über die Art der Mittelpunktsquadrik.

Mehr dazu in diesem Artikel.


Gruss
MathePower

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