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Hallo!
Ich habe da mal eine Frage. Wie man bei Quadriken die euklidischen und affinen Normalformen berechnet ist mir klar, ich habe allerdings eine Verständnisfrage.
Warum ist (bei euklidischer Normalform, aber sonst ja auch) die Matrix A immer symmetrisch? (bei: [mm] (xy)^{T}A(xy) [/mm] + [mm] b^{T}xy [/mm] + c = 0)
* Warum ist das so?
* Geht das auch mit einer nicht-symmetrischen Matrix?
Hat das damit zu tun,dass man bei der Herstellung der euklidischen Normalform nicht Längen und Winkel verändern will? Irgendwie fehlt mir da ne gute Erklärung. Hab auch schon versucht im Internet/Büchern die Lösung zu finden, aber da steht irgendwie immer nur DASS es so ist, und nicht WIESO.
Vielen lieben Dank! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mi 09.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist A eine reelle nxn- Matrix, so setze [mm] B:=\bruch{1}{2}(A+A^T) [/mm] und rechne nach, dass gilt:
1. B ist symmetrisch
und
2.
$x^TAx=x^TBx$ für alle x [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Daher kann man bei Quadriken o.B.d.A immer A als symmetrisch annehmen.
FRED
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vielen Dank für die Antwort! :)
Nur leider ist mir grad nicht wirklich klar, warum man das so zeigen kann? Warum setze ich das B so?
Mir würde auch eine "mündliche" Erklärung reichen. Es ist ja so, dass die Transformation [mm] \vektor{u\\ v} [/mm] = [mm] P*\vektor{x \\ y} [/mm] mit der orthogonalen Matrix P vorgenommen wird. Hat das irgendwas damit zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mi 09.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen Dank für die Antwort! :)
> Nur leider ist mir grad nicht wirklich klar, warum man das
> so zeigen kann?
??? Da verstehe ich die Frage nicht: Dass [mm] $A+A^T$ [/mm] symmetrisch ist, ist doch leicht
nachzurechnen - berechne dazu vielleicht einfach mal [mm] ${(A+A^T)}^T\,.$
[/mm]
> Warum setze ich das B so?
Wonach suchst Du denn nun genau? Nach einer "geometrischen
Interpretation"? Oder nach einer "algebraischen"?
Algebraisch kann man es sich leicht machen (das Folgende gilt "für alle [mm] $x\,$"):
[/mm]
$x^TAx [mm] \in \IR$
[/mm]
liefert
[mm] $x^TAx=(x^TAx)^T$
[/mm]
und daher
[mm] $x^TAx=(Ax)^T\underbrace{x}_{={(x^T)}^T}=x^TA^Tx\,.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $x^TAx=\frac{2(x^TAx)}{2}=\frac{x^TAx+x^TA^Tx}{2}=x^T\left(\frac{1}{2}(A+A^T)\right)x.$
[/mm]
So leitet man sich die 2. von Freds Behauptungen her, und dann sieht man
vielleicht auch (besser), wieso [mm] $B\,$ [/mm] so definiert wird. Und wenn man ein
bisschen das Rechnen mit Transponierten beherrscht, erkennt man dann
quasi auch direkt, dass [mm] $B=\frac{1}{2}(A+A^T)$ [/mm] symmetrisch ist - aber das
sollst Du im Prinzip, s.o., auch nochmal schnell selbst nachrechnen!
Gruß,
Marcel
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