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[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz.
Wie soll denn (u,v,w) [mm] \cdot [/mm] M + b gerechnet werden.
Da würde man ja dann eine 1x3 - Matrix zu einer 3x1 - Matrix (Vektor b) addieren.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo TommyAngelo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz.
> Wie soll denn (u,v,w) [mm]\cdot[/mm] M + b gerechnet werden.
> Da würde man ja dann eine 1x3 - Matrix zu einer 3x1 -
> Matrix (Vektor b) addieren.
>
Nun, das ist bestimmt ein Fehler in der Aufgabenstellung.
Gemeint ist wohl eher:
[mm]\left(x.y,z\right)^{t}=\left(u,v,w\right)^{t}*M+b[/mm]
,wobei das hochgestellte t für "transponiert" steht.
Gruss
MathePower
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Dann würde man ja eine 3x1-Matrix mit einer 3x3 Matrix multiplizieren. Wenn schon so:
[mm] M\cdot (u,v,w)^t [/mm] + b
Oder?
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Hallo TommyAngelo,
> Dann würde man ja eine 3x1-Matrix mit einer 3x3 Matrix
> multiplizieren. Wenn schon so:
>
> [mm]M\cdot (u,v,w)^t[/mm] + b
>
> Oder?
Ja, da hast Du recht.
Gruss
MathePower
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Könntest du mir bitte Tipps geben, wie ich da rangehen soll?
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Hallo TommyAngelo,
> Könntest du mir bitte Tipps geben, wie ich da rangehen
> soll?
Nun, zu allererst muß Du die
gemischtquadratischen Glieder [mm]xy, \ xz, \ yz[/mm]
durch eine geeignete Transformation eliminieren.
Dies erreichst Du, in dem Du die Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{1 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 1 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 1}[/mm]
berechnest.
Oder Du gehst schrittweise voran:
Zunächst ist dann hier:
[mm]x'=x+a_{1}*y+b_{1}*z[/mm]
[mm]y'=y[/mm]
[mm]z'=z[/mm]
,wobei [mm]a_{1}, \ b_{1}[/mm] so zu wählen sind, daß die
gemischtquadratischen Glieder in xy und xz wegtransformiert werden.
Nach dieser Transformation sind gegebenenfalls
noch gemischtquadratische Glieder in yz vorhanden.
Diese müssen dann ja auch noch wegtransformiert werden.
Das Spiel geht so weiter bis keine gemischtquadratischen Glieder mehr vorhanden sind.
Gruß
MathePower
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[mm] a_1 [/mm] = [mm] \frac{x'}{y}
[/mm]
[mm] b_1 [/mm] = [mm] \frac{x'}{z}
[/mm]
Willst du darauf hinaus?
Ich hab halt mal xy und xz berechnet:
xy = [mm] x'y-a_1y^2-b_1yz
[/mm]
xz = [mm] x'z-a_1yz-b_1z^2
[/mm]
Ist dann etwa x = -x' ?
Oder wie muss ich mir das vorstellen?
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Hallo TommyAngelo,
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\frac{x'}{y}[/mm]
>
> [mm]b_1[/mm] = [mm]\frac{x'}{z}[/mm]
>
> Willst du darauf hinaus?
Nein.
>
> Ich hab halt mal xy und xz berechnet:
>
> xy = [mm]x'y-a_1y^2-b_1yz[/mm]
> xz = [mm]x'z-a_1yz-b_1z^2[/mm]
>
> Ist dann etwa x = -x' ?
> Oder wie muss ich mir das vorstellen?
Wenn Du diese Substitution wendest, dann ist ja
[mm]x=x'-a_{1}*y-b_{1}*z[/mm]
Setzt Du das in die Ausgangsgleichung ein, dann dürfen keine gemischtquadratischen Glieder xy und xz mehr vorhanden sein.
Also
[mm]\left(x'-a_{1}*y-b_{1}*z\right)^{2}+\left(x'-a_{1}*y-b_{1}*z\right)y+\left(x'-a_{1}*y-b_{1}*z\right)z=\left(x'\right)^{2}+c_{1}y^{2}+d_{1}*yz+e_{1}^{2}[/mm]
In der Ausgangsgleichung sind natürlich alle x
gemäß obiger Transformation zu ersetzen.
>
Gruß
MathePower
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Ich hab jetzt mal alle x in der Ausgangsgleichung ersetzt und komme auf:
[mm] x'^2+(a_1^2-a_1+1)y^2+(b_1^2-b_1+1)z^2+(1-2a_1)x'y+(1-2b_1)x'z+(2a_1b_1-a_1-b_1+1)yz+x'+(1-a_1)y+(1-b_1)z [/mm] = 1
[mm] a_1 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ?
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hoffe, ich darf mich hier mal dranhängen...
ich habe versucht, die aufgabe über den "matrizenweg" zu lösen, habe aber einige unsicherheitsstellen...
$$M = [mm] \pmat{1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1}, \quad [/mm] b = [mm] \pmat{1\\1\\1}, [/mm] c = -1$$
[mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \quad EV_1 [/mm] = [mm] \pmat{-1\\0\\1}, EV_2 [/mm] = [mm] \pmat{-1\\1\\0}$
[/mm]
[mm] $\lambda_3 [/mm] = 2 [mm] \quad EV_3 [/mm] = [mm] \pmat{1\\1\\1}$
[/mm]
jetzt muss ich laut meinen "quellen" eine orthogonale matrix aus EV's bilden. d.h. hier doch, ich nehme z.b. [mm] EV_1 [/mm] und [mm] EV_3, [/mm] normiere die und suche mir noch einen dritten vektor, der dazu orthogonal ist und eben normiert. ich verstehe aber ehrlich gesagt nicht so ganz, warum ich diese matrix brauche...
denn meiner meinung nach ist die normalform:
[mm] $$\frac{1}{2}u^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2}v^2 [/mm] + [mm] 2w^2 [/mm] = 1$$
also, konkrete fragen:
1. stimmt mein vorgehen soweit?
2. wozu brauche ich diese orthogonale matrx aus eigenvektoren?
3. ist "meine" normalform auch die gesuchte lösung der aufgabe  ?
gruß & dank, GB
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Hallo GreatBritain,
> hoffe, ich darf mich hier mal dranhängen...
>
> ich habe versucht, die aufgabe über den "matrizenweg" zu
> lösen, habe aber einige unsicherheitsstellen...
> [mm]M = \pmat{1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1}, \quad b = \pmat{1\\1\\1}, c = -1[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2} = \frac{1}{2} \quad EV_1 = \pmat{-1\\0\\1}, EV_2 = \pmat{-1\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]\lambda_3 = 2 \quad EV_3 = \pmat{1\\1\\1}[/mm]
>
>
> jetzt muss ich laut meinen "quellen" eine orthogonale
> matrix aus EV's bilden. d.h. hier doch, ich nehme z.b. [mm]EV_1[/mm]
> und [mm]EV_3,[/mm] normiere die und suche mir noch einen dritten
> vektor, der dazu orthogonal ist und eben normiert. ich
> verstehe aber ehrlich gesagt nicht so ganz, warum ich diese
> matrix brauche...
> denn meiner meinung nach ist die normalform:
> [mm]\frac{1}{2}u^2 + \frac{1}{2}v^2 + 2w^2 = 1[/mm]
>
> also, konkrete fragen
> 1. stimmt mein vorgehen soweit?
Im Prinzip ja.
Bei genauerem Hinsehen sind [mm]EV_{1}[/mm] und [mm]EV_{2}[/mm] nicht orthogonal.
> 2. wozu brauche ich diese orthogonale matrx aus
> eigenvektoren?
Nun, ist die Matrix orthogonal, dann sind
die neuen Koordinatenachsen auch paarweise senkrecht.
> 3. ist "meine" normalform auch die gesuchte lösung der
> aufgabe ?
Du hast da ja wohl den linearen Anteil unterschlagen.
Ich denke, das macht aber nicht viel aus, da sich
erstens das Koordinatensystem verschiebt und
zweitens das Absolutglied sich möglicherweise verändert.
>
> gruß & dank, GB
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Di 30.06.2009 | | Autor: | HILFE16 |
wenn ich die aufgabe über den matrizen weg lösen möchte und ich habe dann die orthogonale matrix aus EV wie gehe ich dann weiter vor?
ich habe leider keine ahnung, weil ich im moment das skript meines profs überhaupt nicht verstehen kann. ist leider etwas konfus.
danke für eure hilfe...
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Hallo HILFE16,
> wenn ich die aufgabe über den matrizen weg lösen möchte
> und ich habe dann die orthogonale matrix aus EV wie gehe
> ich dann weiter vor?
Nun, dann hast Du das erste Ziel erreicht.
Durch diese orthogonale Matrix T hast Du nur noch quadratische Anteile.
Weiterhin ändern sich durch diese orthogonale Matrix auch die linearen Anteile.
Vorher hattest Du:
[mm]p^{t}*A*p+2*a^{t}*p+c=0[/mm]
, wobei [mm]p=\pmat{x \\ y \\ z}, p^{t}=\pmat{x & y & z}[/mm]
[mm]A=\pmat{1 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 1 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 1}[/mm]
[mm]a^{t}=\pmat{\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}}[/mm]
und c=-1
Jetzt hast Du allerdings die Transformation
[mm]p=T*q[/mm]
Diese mußt Du jetzt in diese Gleichung einsetzen,
dann kannst Du auch noch die linearen Anteile durch
eine Translation auch noch eliminieren.
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> ich habe leider keine ahnung, weil ich im moment das
> skript meines profs überhaupt nicht verstehen kann. ist
> leider etwas konfus.
>
> danke für eure hilfe...
Gruß
MathePower
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Frage: Warum schreibst du [mm] 2\cdot a^t\cdot{}p, [/mm] also warum ziehst du die 2 raus?
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Hallo TommyAngelo,
> Frage: Warum schreibst du [mm]2\cdot a^t\cdot{}p,[/mm] also warum
> ziehst du die 2 raus?
Nun, die "2" hat einer quadratischen Gleichung zu tun.
Gruß
MathePower
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Wenn du die binomische Formel meinst, ok, aber ansonsten weiß ich nicht, worauf du hinauswillst.
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Hallo TommyAngelo,
> Wenn du die binomische Formel meinst, ok, aber ansonsten
> weiß ich nicht, worauf du hinauswillst.
Genau, da ist die binomische Formel mit im Spiel.
Gruß
MathePower
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Hallo TommyAngelo,
> Ich hab jetzt mal alle x in der Ausgangsgleichung ersetzt
> und komme auf:
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> [mm]x'^2+(a_1^2-a_1+1)y^2+(b_1^2-b_1+1)z^2+(1-2a_1)x'y+(1-2b_1)x'z+(2a_1b_1-a_1-b_1+1)yz+x'+(1-a_1)y+(1-b_1)z[/mm]
> = 1
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]b_1[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] ?
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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