Quantenteilchen und Kraft < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Fr 17.10.2014 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | | Wir betrachten ein quantenmechanisches Teilchen der Masse $m$, das sich in einem eindimensionalen Kasten der Länge $L$ bewegt. Berechnen Sie die Kraft, die das Teilchen im $n$-ten Energieniveau auf die Wände ausübt in Abhängigkeit von $L$. |
Ich scheitere hier ein wenig daran, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich diese Kraft überhaupt ausrechne. In meinem Skript fand ich die Formel
[mm] $$\bar [/mm] y = [mm] \sum_y \frac{\Omega_y(E,\lambda)}{\Omega(E,\lambda)} [/mm] = [mm] -\frac{\overline{d E}}{d \lambda}$$
[/mm]
wobei [mm] $\lambda$ [/mm] der Systemparameter ist.
Jetzt weiß ich ja, dass für das Teilchen im Kasten in der Quantenmechanik gilt [mm] $E_n [/mm] = [mm] \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}n^2$. [/mm] Meine erste Idee war also [mm] $\frac{dE}{dn}$ [/mm] zu berechnen. Jetzt frage ich mich aber: Was heißt dieser Überstrich über der Ableitung in der Formel? Und ist das überhaupt der richtige Weg? Nur kurz nach $n$ ableiten, vermute ich, ist doch etwas zu einfach.
Wie löse ich also diese Aufgabe? Danke!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
n ist kein Systemparameter, sondern eine Quantenzahl, die dir sagt, in welchem Zustand sich dein System befindet - nach n abzuleiten führt also nicht zum Ziel.
Der Querstrich symbolisiert eine Mittelung über die Zustände, verallgemeinerte Kräfte hängen nicht vom Quantenzustand ab.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Fr 17.10.2014 | | Autor: | adefg |
Okay, ich hab beim weiteren Überlegen dann selbst gemerkt, dass der Systemparameter ja die Länge $L$ und nicht $n$ ist.
Trotzdem bin ich noch nicht so wirklich weitergekommen. Muss ich also die Ableitung [mm] $\frac{dE}{dL}$ [/mm] bilden? Aber auch hier käme mir das irgendwie sehr einfach vor.
Im Fließbach fand ich die Formel
[mm] $$X_i [/mm] = [mm] k_BT\frac{\partial\ln\Omega(E,x)}{\partial x_i}$$
[/mm]
für die verallgemeinerte Kraft. Meine neue Idee war jetzt, [mm] $\Omega(E,L)$ [/mm] für mein System über das Phasenraumvolumen zu bestimmen und dann die Formel anzuwenden.
Das ergab dann für das Phasenraumvolumen [mm] $\phi(E,L) [/mm] = [mm] 2L\sqrt{2mE}$ [/mm] und für die Ableitung [mm] $\frac{\partial\ln\phi(E,L}{\partial L} [/mm] = [mm] \frac{1}{L}$ [/mm] und damit mit der Formel
$$F = [mm] \frac{k_B T}{L}$$
[/mm]
Stimmt das so, oder liege ich komplett daneben? Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Sa 18.10.2014 | | Autor: | andyv |
Temperatur ist eine "statistische Größe", es macht keinen Sinn einem 1-Teilchen System eine Temperatur zuzuordnen.
Da du hier ein Teilchen in einem festen Quantenzustand, nämlich dem Energie-ES $|n>$, betrachtest ist tatsächlich nur die Ableitung nach L zu bilden, eine Mittelung über die Mikrozustände entfällt (bzw. man mittelt über einen Zustand).
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Sa 18.10.2014 | | Autor: | adefg |
Okay, da hat wohl das Denken, dass einfach nicht richtig sein kann, zugeschlagen. Danke!
|
|
|
|
