Quantilfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Quantilsfunktion zu der Verteilungsfunktion:
[mm] F_X(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\ \frac{1}{27}x^3, & \mbox{für } x \in [0,3] \\ 1,& x>3 \end{cases} [/mm] |
Hallo!
Erstmal frage ich mich, was die Quantilsfunktion überhaupt genau angibt. Ich habe aber rausgefunden, dass diese einfach die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion ist, falls diese stetig ist.
Da obige Funktion stetig sein sollte, muss ich also die Umkehrfunktion bestimmen. Macht man das dann auch einfach "Fallweise"?
also ich hätte dann:
[mm] F^{-1}(p)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\ (27p)^{1/3}, & \mbox{für } x \in [0,3] \\ 1,& x>3 \end{cases}
[/mm]
stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Quantilsfunktion zu der
> Verteilungsfunktion:
>
> [mm]F_X(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\ \frac{1}{27}x^3, & \mbox{für } x \in [0,3] \\ 1,& x>3 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Erstmal frage ich mich, was die Quantilsfunktion überhaupt
> genau angibt. Ich habe aber rausgefunden, dass diese
> einfach die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion ist,
> falls diese stetig ist.
>
> Da obige Funktion stetig sein sollte, muss ich also die
> Umkehrfunktion bestimmen. Macht man das dann auch einfach
> "Fallweise"?
Ja, wenn denn die Umkehrfunktion existierte.
> also ich hätte dann:
> [mm]F^{-1}(p)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\ (27p)^{1/3}, & \mbox{für } x \in [0,3] \\ 1,& x>3 \end{cases}[/mm]
>
> stimmt das?
Nein. Deine obige Funktion ist doch gar nicht bijektiv, sie ist leider nicht mal injektiv auf [mm] $\IR$ [/mm] (z.B. ist $f(-2)=0=f(-1)$, obwohl $-2 [mm] \not=-1$; [/mm] oder auch ist $f(4)=f(5)$ usw...).
Aber die Fallunterscheidung müsstest Du, wenn die Funktion bijektiv wäre, dann bzgl. des Definitionsbereiches der Umkehrfunktion, welche dann der Wertebereich der Ausgangsfunktion ist, machen.
M.a.W.:
Du kannst zu [mm] $F_X$ [/mm] gar keine Unkehrfunktion angeben, und selbst, wenn Du [mm] $F_X$ [/mm] so einschränkst, dass [mm] $F_X$ [/mm] bijektiv ist (z.B. könntest Du [mm] $F_X$ [/mm] auf $[0,3]$ eingeschränkt betrachten), ist Deine Angabe der zugehörigen Umkehrfunktion dann falsch. Denn wie sollte [mm] $F_X^{-1}$ [/mm] (wenn ich die eingeschränkte Funktion auch wieder [mm] $F_X$ [/mm] nenne) denn bitteschön auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert sein, wenn oben doch schon offensichtlich [mm] $F_X(\IR)=[0,1]$ [/mm] gilt?
Hier mal ein Bsp., an dem Du siehst, wie man die Fallunterscheidungen dann zu machen hätte:
$f: [mm] \IR \to (-\infty,0] \cup (2,\infty]$ [/mm] mit
[mm] $f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 0 \\ \frac{x}{2}+2 & \mbox{für } x \in (0,1] \\ \frac{5}{2}+2*x ,& \mbox{für } x>1 \end{cases}$
[/mm]
Dieses $f$ ist bijektiv. Hier wäre [mm] $f((-\infty,0])=(-\infty,0]=:I_1$, $f((0,1])=\left(2,\frac{5}{2}\right]=:I_2$ [/mm] und [mm] $f((1,\infty))=\left(\frac{5}{2},\infty\right)=:I_3$
[/mm]
Die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}: (-\infty,0] \cup (2,\infty] \to \IR$ [/mm] wäre mit
[mm] $(-\infty,0] \cup (2,\infty]=I_1 \cup^d I_2 \cup^d I_3 [/mm] $ (wobei [mm] $\cup^d$ [/mm] daran erinnern soll, dass dies eine disjunkte Vereinigung ist) zu bestimmen:
$x [mm] \in I_1 \Rightarrow$ $f^{-1}(x)=...$, [/mm] $x [mm] \in I_2 \Rightarrow$ $f^{-1}(x)=...$ [/mm] und $x [mm] \in I_3 \Rightarrow$ $f^{-1}(x)=...$.
[/mm]
Also das nur so allgemein zu Umkehrfunktionen, ohne auf die Quantilsfunktion näher einzugehen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 12.05.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Wimme,
> Bestimmen Sie die Quantilsfunktion zu der
> Verteilungsfunktion:
>
> [mm]F_X(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\ \frac{1}{27}x^3, & \mbox{für } x \in [0,3] \\ 1,& x>3 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Erstmal frage ich mich, was die Quantilsfunktion überhaupt
> genau angibt. Ich habe aber rausgefunden, dass diese
> einfach die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion ist,
> falls diese stetig ist.
Mit ihrer Hilfe kannst du die Quantile einer Verteilung bestimmen,
z.B. den Median $Q(0.5)$ oder das obere Quartil $Q(0.75)$.
>
> Da obige Funktion stetig sein sollte, muss ich also die
> Umkehrfunktion bestimmen. Macht man das dann auch einfach
> "Fallweise"?
>
> also ich hätte dann:
> [mm]F^{-1}(p)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\ , & \mbox{für } x \in [0,3] \\ 1,& x>3 \end{cases}[/mm]
>
> stimmt das?
Nein, es muss heissen [mm] $Q(p)=(27p)^{1/3}$ [/mm] fuer [mm] $p\in[0,1]$, [/mm] genauer [mm] $Q:[0,1]\to\IR$, $p\mapsto 3\sqrt[3]{p}$.
[/mm]
vg Luis
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