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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Quantorenlogik
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Quantorenlogik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 Do 12.08.2010
Autor: Kueken

Hallo!

Ich zieh mir gerade ein Skript zur Linearen Algebra rein und verstehe eine Sache nicht, die des öfteren hier vorkommt.

[mm] (\forall [/mm] n [mm] \in N)(\exists [/mm] k [mm] \in [/mm] N) n [mm] \le [/mm] k

Ich hab jetzt mal nur die eine Seite aufgeschrieben. Das Problem liegt bei mir zwischen den Klammern. Da steht überhaupt nichts und das bringt mich völlig aus der Fassung :)
Kann mir vielleiht jemand den Term von Mathematisch in Deutsch übersetzen?

Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
Kerstin

        
Bezug
Quantorenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:14 Do 12.08.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> Ich zieh mir gerade ein Skript zur Linearen Algebra rein
> und verstehe eine Sache nicht, die des öfteren hier
> vorkommt.
>  
> [mm](\forall[/mm] n [mm]\in N)(\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] N) n [mm]\le[/mm] k
>  
> Ich hab jetzt mal nur die eine Seite aufgeschrieben. Das
> Problem liegt bei mir zwischen den Klammern. Da steht
> überhaupt nichts und das bringt mich völlig aus der
> Fassung :)
> Kann mir vielleiht jemand den Term von Mathematisch in
> Deutsch übersetzen?
>  
> Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
>  Kerstin


Hallo Kerstin,

diese Zeile kann man eigentlich recht einfach in eine
Aussage in gewöhnlicher Sprache umsetzen:

"Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine natürliche Zahl k
mit der Eigenschaft, dass n kleiner oder gleich k ist"

Diese Aussage ist auch offensichtlich richtig. Wenn eine
beliebige natürliche Zahl n vorgegeben ist, nehme man
einfach k:=n , dann ist die Ungleichung  [mm] n\le{k} [/mm]  offenbar
erfüllt.

Ändern wir die Zeile geringfügig ab, indem wir aus der
schwachen eine starke Ungleichung machen:

      $\ [mm] (\forall\ [/mm] n [mm] \in \IN)(\exists\ k\in \IN)\ [/mm] \ n<k$

dann heißt dies sinngemäß und kurz formuliert:

"Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine noch größere"

Auch diese Aussage ist wahr, aber zu ihrem Beweis
benötigt man das entsprechende Axiom der Menge
der natürlichen Zahlen (Nachfolgeraxiom).

Vertauschen wir aber (in der ursprünglichen Ungleichung)
z.B. die beiden Quantoren zu:

      $\ [mm] (\exists\ k\in N)(\forall [/mm] \ [mm] n\in [/mm] N)\ \ [mm] n\le [/mm] k$

dann würde dies heißen:

"Es gibt eine natürliche Zahl k, welche mindestens so groß
ist wie jede beliebige natürliche Zahl n"

oder etwas einfacher gesagt:

"Es gibt eine größte natürliche Zahl"

Diese Aussage ist falsch. Zum Beweis braucht man ebenfalls
(unter anderem) das Nachfolgeraxiom.


LG     Al-Chwarizmi  




Bezug
                
Bezug
Quantorenlogik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Do 12.08.2010
Autor: Kueken

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Also wenn man Klammern nebeneinandersetzt oder Junktoren, bedeutet das in der Aussagelogik, dass jede Bedingung in einer Klammer in genau der Reihenfolge gegeben sein muss, oder? (ist jetzt nicht astrein formuliert, aber ich hoffe man versteht was ich meine *g*)

Jetzt hab ich sogar verstanden, was die hier mit der Umkehrung meinen... Dankedankedanke =)

LG
Kerstin

Bezug
                        
Bezug
Quantorenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Do 12.08.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Kerstin,

> Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
>
> Also wenn man Klammern nebeneinandersetzt oder Junktoren,
> bedeutet das in der Aussagelogik, dass jede Bedingung in
> einer Klammer in genau der Reihenfolge gegeben sein muss,
> oder? (ist jetzt nicht astrein formuliert, aber ich hoffe
> man versteht was ich meine *g*)

Jo, das stimmt, es ist von links nach rechts zu lesen.

Die Klammern dienen nur der deutlicheren Abgrenzung, du musst sie nicht setzen.

Genauso ginge auch:

[mm] $\forall n\in\IN [/mm] \ [mm] \exists k\in\IN [/mm] : [mm] n\le [/mm] k$

"Zu jeder natürlichen Zahl $n$ gibt es eine nat. Zahl k, so dass gilt: $n$ ist kleinergleich $k$

oder

[mm] $\forall n\in\IN [/mm] : [mm] \exists k\in\IN [/mm] : [mm] n\le [/mm] k$

"Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: es gibt ein [mm] $k\in\IN$, [/mm] so dass gilt: n kleinergleich k"

>  
> Jetzt hab ich sogar verstanden, was die hier mit der
> Umkehrung meinen... Dankedankedanke =)
>  
> LG
>  Kerstin


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Quantorenlogik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Do 12.08.2010
Autor: Kueken

*strahl* :D

Dankeschön!

Bezug
                                        
Bezug
Quantorenlogik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:47 So 15.08.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> *strahl* :D
>  
> Dankeschön!


Freut mich auch.

*strahle ebenfalls*

good night !


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