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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 So 20.11.2005 | | Autor: | Mellen |
Hallo.
Ich hab mal ne ganz simple Verständnisfrage.
1. [mm] \exists a \in \IR : \forall \varepsilon \in \IR, \varepsilon >0 : \exists n_0 \in \IN : \forall n \in \IN, n\ge n_0: |a_n - a |< \varepsilon [/mm]
2. [mm] \forall \varepsilon \in \IR, \varepsilon >0 : \exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall n \in \IN, n\ge n_0: |a_n - a |< \varepsilon [/mm]
3. [mm] \exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall \varepsilon \in \IR, \varepsilon >0 : \forall n \in \IN, n\ge n_0: |a_n - a |< \varepsilon [/mm]
Besteht ein Unterschied zwischen den dreien? Das erste ist ja eigentlich die Bedingung dafür,dass a Grenzwert von [mm] a_n [/mm] ist. Für mich sind die beiden anderen aber genau dasselbe weil sich nur vorne was verändert hat, die eigentliche Bedingung [mm] \forall n \in \IN, n\ge n_0: |a_n - a |< \varepsilon [/mm] aber gleich geblieben ist. Stimmt das so oder hat die veränderte Reihenfolge hier eine neue Bedeutung?
Vielen Dank schon Mal für eure Hilfe.
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Hallo Ellen,
nein, die Aussagen sind weder formal noch inhaltlich äquivalent:
Bei 1. hast Du recht, es ist die klassische Grenzwertdefinition: wenn sie erfüllt ist, gibt es genau den einen Grenzwert a zu Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}.
[/mm]
Bei 2. kannst Du Dir zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein a aussuchen, das zu allen [mm] a_n [/mm] mit n > [mm] n_0 [/mm] einen Abstand kleiner [mm] \varepsilon [/mm] hat: Nimm z.B. eine Cauchyfolge, dann könnte das a jeweils das [mm] a_{n_0} [/mm] passend zu [mm] \varepsilon [/mm] sein. Wenn Du es nicht mit einem vollständgen Raum wie [mm] \IR [/mm] zu tun hast, muss ein Grenzwert aber nicht existieren.
Wenn 3. dagegen wahr sein soll, muss es sich um eine konstante Folge [mm] a_n [/mm] = a für (fast) alle n handeln: zu einem vorgegebenen [mm] n_0 [/mm] muss nämlich der Abstand aller Folgeglieder [mm] a_n [/mm] von a kleiner [mm] \varepsilon [/mm] sein, und zwar für alle [mm] \varepsilon! [/mm] Das geht nur, wenn der Abstand 0 ist.
Gruß, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Docy |
Hi,
ich würde gerne etwas über die Quantorenschreibweise erfahren, kennt jemand vielleicht zufällig eine geeignete Website?
Vielen Dank für eure Hilfe
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Hallo Dima,
also am ausführlichsten fand ich noch das, was Wikipedia zu dem Thema hat. Siehe diesen Link:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Quantor
Ansonsten habe ich jetzt nach kurzem Googeln nichts gefunden, das mehr Infos beinhaltet. Soviel mehr gibt es aber auch nicht zu sagen.
Viele Grüße
Daniel
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