(Quasi-)konkav/(Quasi-)konvex < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 22.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
ich habe Probleme mit dem Verständnis der Begriffe konvex, konkav und vor allem quasikonvex und quasikonkav.
Also ich fang mal damit an, was mir bekannt ist:
Eine Menge D heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x,y [mm] \in [/mm] D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.
ax + (1-a)y [mm] \in [/mm] D für alle a [mm] \in [/mm] (0,1), und x,y [mm] \in [/mm] D.
Die Funktion f heißt konvex, falls D konvex ist und falls für alle [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] D und alle a [mm] \in [/mm] (0,1)
[mm] f(ax_{1} [/mm] + [mm] (1-a)x_{2}) \le af(x_{1}) [/mm] + [mm] (1-a)f(x_{2})
[/mm]
Das bedeutet laut dem Skript: Bei einer konvexen Funktion ist der Funktionswert an einem Mittelpunkt immer kleiner oder gleich dem Mittelwert der Funktionswert. Graphisch bedeutet dies, dass die Sehne die f(p) und f(q) verbindet, stets über der Funktion liegt.
Meine erste Frage wäre, wieso der obige Ausdruck diese graphische Bedeutung hat? Was hat das mit dem Mittelwert zu tun? Wie kommt man auf diese Ungleichung?
Analog gilt:
Die Funktion f heißt konvex, falls D konvex ist und falls für alle [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] D und alle a [mm] \in [/mm] (0,1)
[mm] f(ax_{1} [/mm] + [mm] (1-a)x_{2}) \ge af(x_{1}) [/mm] + [mm] (1-a)f(x_{2})
[/mm]
Des Weiteren gibt es da noch folgende Definition:
Sei f konvex. Dann ist die untere Niveaumenge von f
[mm] \{x \in D: f(x) \le c\} [/mm] konvex.
Sei f konkav. Dann ist die obere Niveaumenge von f
[mm] \{x \in D: f(x) \ge c\} [/mm] konvex.
Hier frage ich mich wie das genau mit den Niveaumengen gemeint ist. Was ist genau eine Niveaumenge und wieso spielt es hier eine Rolle? Ich wurde aus der Definition bei Wikipedia auch nicht wirklich schlau. Kann man den obigen Ausdruck auf eine einfache Weise erklären?
Schließlich heißt es zu den Begriffen quasikonvex und quasikonkav:
Eine Funktion f heißt quasi-konvex in D, falls D konvex ist und jede untere Niveaumenge [mm] \{x \in D: f(x) \le c\} [/mm] konvex ist.
Eine Funktion f heißt quasi-konkav in D, falls D konvex ist und jede obere Niveaumenge [mm] \{x \in D: f(x) \ge c\} [/mm] konvex ist.
Jede konkave (konvexe) Funktion ist auch quasi-konkav (bzw. quasi-konvex). Jedoch nicht umgekehrt.
Eine Funktion f ist quasi-konvex falls für alle [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] D und alle a [mm] \in [/mm] (0,1): [mm] f(ax_{1} [/mm] + [mm] (1-a)x_{2}) \le max(f(x_{1}), f(x_{2})).
[/mm]
Eine Funktion f ist quasi-konkav falls für alle [mm] x_{1},x_{2} \in [/mm] D und alle a [mm] \in [/mm] (0,1): [mm] f(ax_{1} [/mm] + [mm] (1-a)x_{2}) \ge min(f(x_{1}), f(x_{2})).
[/mm]
An dieser Stelle ist es sicherlich hilfreich, die ganzen bisherigen Definitionen verstanden zu haben, sodass man das jetzt kombinieren kann. Ich würde sehr gerne wissen, was der Unterschied zwischen quasi und nicht quasi ist und warum jede konkave (konvexe) Funktion auch quasikonkav (quasikonvex) ist, aber nicht umgekehrt.
Vielen Dank!
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Fr 22.01.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur ersten Frage: wie bestimmst du die sehne die von [mm] f(x_1) [/mm] nach [mm] f(x_2) [/mm] geht?
das ist doch genau [mm] s(x_1->x_2)=a*f(x_1)+(1-a)*f(x_2) [/mm] für a=1/2 hast du den Mittelwert also [mm] (f(x_1)+f(x_2))/2 [/mm] das andere [mm] a\not=1/2 [/mm] sind gewichtete Mittel.
danach unter analog hast du konvex geschrieben, meins aber wohl konkav.
eine Niveauflläche bzw Linie ist die Fläche f(x)=c
die menge aller Flächen mit f(x)>=c ist die obere Niveaumenge usw.
siehst du dir das für eindimensionales x oder mehrdimensional an? für f(x) 1 und 2 d kann man das noch leicht veranschaulichen.
Gruss ledum
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:35 Sa 23.01.2016 | | Autor: | Mathics |
> Hallo
> zur ersten Frage: wie bestimmst du die sehne die von
> [mm]f(x_1)[/mm] nach [mm]f(x_2)[/mm] geht?
> das ist doch genau [mm]s(x_1->x_2)=a*f(x_1)+(1-a)*f(x_2)[/mm] für
> a=1/2 hast du den Mittelwert also [mm](f(x_1)+f(x_2))/2[/mm] das
> andere [mm]a\not=1/2[/mm] sind gewichtete Mittel.
Wieso bestimmt denn [mm]s(x_1->x_2)=a*f(x_1)+(1-a)*f(x_2)[/mm] die Sehne von [mm]f(x_1)[/mm] nach [mm]f(x_2)[/mm] ? Also wie kommt man darauf?
> danach unter analog hast du konvex geschrieben, meins aber
> wohl konkav.
genau.
> eine Niveauflläche bzw Linie ist die Fläche f(x)=c
> die menge aller Flächen mit f(x)>=c ist die obere
> Niveaumenge usw.
> siehst du dir das für eindimensionales x oder
> mehrdimensional an? für f(x) 1 und 2 d kann man das noch
> leicht veranschaulichen.
Wofür ist denn die Niveaumenge bei diesem Thema wichtig?
Ich würde sagen, eindimensionales x.
Ich habe mal meiner Antwort eine Grafik angehängt. So wurde uns das graphisch ca. mit den Niveaumengen und Quasikonvex und Quasikonkav erklärt, aber ich habe noch nicht so richtig den Zusammenhang zwischen den mathematischen Ausdrücken und der Grafik verstanden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Mathics
> Gruss ledum
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:45 So 24.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Wie unterscheiden sich denn konvex und quasi-konvex grafisch. Also kann man da vielleicht ansetzen um die Unterschiede zwischen beiden Begriffen zu verdeutlichen?
LG
Mathics
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 26.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 25.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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