Quaternionengruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:16 Mi 03.10.2007 | | Autor: | studi81 |
| Aufgabe | | Die von X = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] und Y = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } [/mm] erzeugte Untergruppe H8 von GL(2, [mm] \IC) [/mm] hat die Ordnung 8; ihre Elemente sind X, [mm] X²,X³,X^4 [/mm] = E,Y,YX, YX²,YX³. Es gilt X² =Y², [mm] X^4 [/mm] = [mm] Y^4 [/mm] = E, YXY^-1 = X³ = X^-1. H8 ist semidirektes Produkt von N := { [mm] X,...,X^4 [/mm] } und U := {Y, Y²}. (Diese Gruppe wird Quaternionengruppe genannt) |
Wie soll ich die Aufgabe lösen? Soll ich etwa N nach U operieren? Ich im Algemeinen nicht was ich machen soll? Und dann kann ich vielleicht auch konkrete Fragen stellen.
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die von X = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm] und Y = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm]
> erzeugte Untergruppe H8 von GL(2, [mm]\IC)[/mm] hat die Ordnung 8;
Hallo,
ich gehe davon aus, daß Du mit einfachen Mitteln arbeiten sollst.
Hier würde ich ausrechnen, welche Elemente Du mit X und Y erzeugen kannst.
Im Prinzip sagt das ja schon der nächste Satz:
> ihre Elemente sind X, [mm]X²,X³,X^4[/mm] = E,Y,YX, YX²,YX³. Es gilt
> X² =Y², [mm]X^4[/mm] = [mm]Y^4[/mm] = E, YXY^-1 = X³ = X^-1.
Berechne also X, [mm] X^2, X^3 [/mm] usw., ebenso Y, [mm] Y^2, y^3 [/mm] usw.,
und schau, was Du aus diesen kombinieren kannst.
Das Aufstellen einer Verknüpfungstafel ist vielleicht hifreich, da siehst Du dann, daß das eine (Unter-)Gruppe ist.
> H8 ist
> semidirektes Produkt von N := [mm]{X,...,X^4}[/mm] und U := {Y,
> Y²}.
Ich weiß natürlich nicht, was Ihr zum inneren semidirekten Produkt aufgeschrieben habt.
Ich würde zeigen: N ist ein Normalteiler, U ist Untergruppe von [mm] GL(2,\IC), [/mm] im Schitt von beiden liegt nur das neutrale Element,
und jedes Element [mm] h\in H_8 [/mm] kann man schreiben als h=n*u mit [mm] n\in [/mm] N und [mm] u\in [/mm] U.
EDIT: Beachte aber andreas' Hinweis: irgendetwas kann hier nicht stimmen. Wie er richtig sagt, ist ja [mm] \{Y, Y^2\} [/mm] keine Untergruppe,
Was genau steht in Deiner Aufgabenstellung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:59 Do 04.10.2007 | | Autor: | studi81 |
> ich gehe davon aus, daß Du mit einfachen Mitteln arbeiten
> sollst.
Ja die Mittel sollen so einfach sein wie möglich  , habe ja noch nicht ausreichende Kenntnisse in Mathe, eben nur LA1
> Hier würde ich ausrechnen, welche Elemente Du mit X und Y
> erzeugen kannst.
> Im Prinzip sagt das ja schon der nächste Satz:
>
> > ihre Elemente sind X, [mm]X²,X³,X^4[/mm] = E,Y,YX, YX²,YX³. Es gilt
> > X² =Y², [mm]X^4[/mm] = [mm]Y^4[/mm] = E, YXY^-1 = X³ = X^-1.
>
> Berechne also X, [mm]X^2, X^3[/mm] usw., ebenso Y, [mm]Y^2, y^3[/mm] usw.,
> und schau, was Du aus diesen kombinieren kannst.
Ich habe es gerechnet (mit Matrixmultiplikation) und folgendes rausgekriegt: X = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] X² = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] X³ = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm] X4 = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Y = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 } [/mm] Y²= [mm] \pmat{ i² & 0 \\ 0 & i² } [/mm] Y³ = [mm] \pmat{ 0 & i³ \\ i³ & 0 }
[/mm]
> Ich weiß natürlich nicht, was Ihr zum inneren semidirekten
> Produkt aufgeschrieben habt.
Na ja, noch gar nichts, wird vielleicht aus LA1 vorrausgesetzt, wir haben es aber nicht behandelt.
> Ich würde zeigen: N ist ein Normalteiler, U ist
> Untergruppe von [mm]GL(2,\IC),[/mm] im Schitt von beiden liegt nur
> das neutrale Element,
> und jedes Element [mm]h\in H_8[/mm] kann man schreiben als h=n*u mit
> [mm]n\in[/mm] N und [mm]u\in[/mm] U.
Wie genau zeigt man es, wenn ich fragen darf? Ich weiß es wirklich nicht!
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> > Hier würde ich ausrechnen, welche Elemente Du mit X und Y
> > erzeugen kannst.
> > Im Prinzip sagt das ja schon der nächste Satz:
> >
> > > ihre Elemente sind X, [mm]X²,X³,X^4[/mm] = E,Y,YX, YX²,YX³. Es gilt
> > > X² =Y², [mm]X^4[/mm] = [mm]Y^4[/mm] = E, YXY^-1 = X³ = X^-1.
> >
> > Berechne also X, [mm]X^2, X^3[/mm] usw., ebenso Y, [mm]Y^2, y^3[/mm] usw.,
> > und schau, was Du aus diesen kombinieren kannst.
>
> Ich habe es gerechnet (mit Matrixmultiplikation) und
> folgendes rausgekriegt: X = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm] X² =
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] X³ = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
> X4 = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> Y = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }[/mm]
> Y²= [mm]\pmat{ i² & 0 \\ 0 & i² }[/mm] Y³ = [mm]\pmat{ 0 & i³ \\ i³ & 0 }[/mm]
Hallo,
i ist doch die imaginäre Zahl i mit [mm] i^2=1.
[/mm]
Folglich kannst Du Deine Y-Potenzen noch etwas liften.
Danach kannst Du ja die Verknüpfungstafel aufstellen, beachte hierbei, daß [mm] X^2=Y^2.
[/mm]
> > Ich weiß natürlich nicht, was Ihr zum inneren semidirekten
> > Produkt aufgeschrieben habt.
>
> Na ja, noch gar nichts, wird vielleicht aus LA1
> vorrausgesetzt, wir haben es aber nicht behandelt.
>
> > Ich würde zeigen: N ist ein Normalteiler, U ist
> > Untergruppe von [mm]GL(2,\IC),[/mm] im Schitt von beiden liegt nur
> > das neutrale Element,
> > und jedes Element [mm]h\in H_8[/mm] kann man schreiben als h=n*u mit
> > [mm]n\in[/mm] N und [mm]u\in[/mm] U.
>
> Wie genau zeigt man es, wenn ich fragen darf? Ich weiß es
> wirklich nicht!
Die Sache ist die: wenn in Deinem Buch das semidirekte Produkt so definiert ist, wie es meist definiert wird, so kann man das nicht zeigen. Die Quaternionengruppe ist ein beliebtes Beispiel für eine Gruppe, welche man nicht als semidirektes Produkt darstellen kann.
Wie gesagt: irgendwo ist da der Wurm drin in der Aufgabe. (Ich glaube, daß hier 2-3 Aufgaben irgendwie vermischt wurden.)
Ist das eine Hausübung?
Welchem Buch entstammt die Aufgabe?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mi 03.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
mich würde mal interessieren wo diese aufgabe herkommt. zumindest ist die aussage, dass sich [mm] $H_8$ [/mm] als semidirektes produkt schreiben lässt, falsch. das sieht man am besten dadurch, dass zwei nicht triviale untergruppen $U, V [mm] \leq H_8$ [/mm] nicht trivialen schnitt haben: [mm] $\{E_2, -E_2 \} \subseteq [/mm] U [mm] \cap [/mm] V$, wenn [mm] $E_2$ [/mm] die $2 [mm] \times [/mm] 2$ einheitsmatrix bezeichnet.
außerdem ist die hier angegebene menge $U$ bestimmt keine untergruppe, da das neutrale element nicht in $U$ enthalten ist.
grüße
andreas
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> außerdem ist die hier angegebene menge [mm]U[/mm] bestimmt keine
> untergruppe, da das neutrale element nicht in [mm]U[/mm] enthalten
> ist.
Hallo,
ich nehme an, daß Studi81 hier lediglich einen Tippfehler in der Aufgabenstellung hat. Das soll sicher Y = [mm] \pmat{ 0 & i \\ -i & 0 } [/mm] heißen.
> zumindest ist die aussage, dass sich [mm]H_8[/mm] als semidirektes
> produkt schreiben lässt, falsch. das sieht man am besten
> dadurch, dass zwei nicht triviale untergruppen [mm]U, V \leq H_8[/mm]
> nicht trivialen schnitt haben: [mm][mm] \{E_2, -E_2 \}
[/mm]
Das ist nicht richtig.
Offensichtlich erzeugt Y:= [mm] \pmat{ 0 & i \\ -i & 0 } [/mm] eine Untergruppe U der Ordnung 2, und da dies [mm] -E_2 [/mm] nicht enthält, wird ihr Schnitt mit irgendetwas das auch nicht tun.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:03 Mi 03.10.2007 | | Autor: | andreas |
hallo angela
hm. mit dem neuen $Y$ wäre dann allerdings die weiter oben zu bestätigende gleichung [mm] $X^2 [/mm] = [mm] Y^2$ [/mm] falsch. und da die frage schon quaternionengruppe heißt denke ich mal, dass [mm] $H_8$ [/mm] eben genau diese gruppe darstellen soll und die gruppe lässt sich nicht als semidirektes produkt schreiben. aber am besten wir warten mal bis sich Studi81 wieder meldet und mal präzisiert wie genau die aufgabe aussieht.
grüße
andreas
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:39 Mi 03.10.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> hm. mit dem neuen [mm]Y[/mm] wäre dann allerdings die weiter oben zu
> bestätigende gleichung [mm]X^2 = Y^2[/mm] falsch. und da die frage
> schon quaternionengruppe heißt denke ich mal, dass [mm]H_8[/mm] eben
> genau diese gruppe darstellen soll und die gruppe lässt
> sich nicht als semidirektes produkt schreiben. aber am
> besten wir warten mal bis sich Studi81 wieder meldet und
> mal präzisiert wie genau die aufgabe aussieht.
Hallo,
tja, da hast Du irgendwie recht...
Da ist der Wurm drin, irgendetwas stimmt nicht.
Ich werde die Aufgabe schnell wieder in den Urzustand versetzen, um nicht weitere Unklarheiten zu schaffen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mi 03.10.2007 | | Autor: | studi81 |
Es ist schon richtig so wie es oben steht. ist zwar eine Quaternionengrupppe bildet aber auch den semidirekten Produkt!
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> Es ist schon richtig so wie es oben steht. ist zwar eine
> Quaternionengrupppe bildet aber auch den semidirekten
> Produkt!
Nein, das kann nicht sein. Entweder Quaternionengruppe oder semidirektes Produkt. Man kann die Quaternionengruppe nicht als semidirektes Produkt schreiben.
Und, wie von Andreas erwähnt: [mm] \{Y,Y^2\} [/mm] ist keine Gruppe...
Irgendetwas stimmt mit der Aufgabe nicht. Hast Du den exakten Wortlaut aufgeschrieben?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Do 04.10.2007 | | Autor: | studi81 |
> Nein, das kann nicht sein. Entweder Quaternionengruppe oder
> semidirektes Produkt. Man kann die Quaternionengruppe nicht
> als semidirektes Produkt schreiben.
>
> Und, wie von Andreas erwähnt: [mm]\{Y,Y^2\}[/mm] ist keine Gruppe...
>
> Irgendetwas stimmt mit der Aufgabe nicht. Hast Du den
> exakten Wortlaut aufgeschrieben?
Ja, genauso wie es im Buch steht! Das tollste ist, die Quaternionengruppe wird erst 2 Kapitel später erklärt, bzw im Text zum ersten mal erwähnt.
Ich weiß nicht, ich verstehe die ganze Aufgabe nicht!
Kann man die Aufgabe so lösen?
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