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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Sa 02.05.2009 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | Die Quaternionengruppe Q [mm] \subset GL_{2} [/mm] (C) sei die Teilmenge {+-1,+-i,+-j,+-k} mit 1 := [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] , i:= [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i } [/mm] j:= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] k:= [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }.
[/mm]
a)Zeigen sie,dass Q eine Untergruppe von [mm] GL_{2}(C) [/mm] ist.
b)Beweisen sie,dass [mm] \IZ/8 \IZ,\IZ/4 \IZ [/mm] x [mm] \IZ/2 \IZ,\IZ/2 \IZ [/mm] x [mm] \IZ/2 \IZ [/mm] x [mm] \IZ/2 \IZ,D_{4},Q [/mm] (mit der Diedergruppe [mm] D_{4}) [/mm] paarweise nicht isomorph sind.
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Hallo,
ZU der a):Die habe ich glaube ich richtig.Also um zu prüfen ob ob es eine Untergruppe ist,habe ich alle Elemente aus Q miteinander multipliziert und festgestellt dass diese Ergebnisse alle wieder in Q liegen.Ich habe dies in einer größeren Verknüpfungstabelle dargestellt.Außerdem habe ich die Inversen von den einzelnen Elementen ausgerechnet,die wieder in Q liegen.Das müsste doch reichen oder?oder gehts auch kürzer?
Aber nun zu der b):hier verstehe ich schonmal die Fragestellung nicht ganz.Mit paarweise isomorph zueinander,meinen die damit isomorph zu sich selbst,also bsp.weise:prüfe: [mm] \IZ/8 \IZ \cong \IZ/8 \IZ,....,wenn [/mm] ja wie stelle ich dies an?ich habe irgendwie keine vernünftige idee.
Danke für eure Hilfe!!!
Gruß
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Hallo nini111,
> Die Quaternionengruppe Q [mm]\subset GL_{2}[/mm] (C) sei die
> Teilmenge {+-1,+-i,+-j,+-k} mit 1 := [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> , i:= [mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }[/mm] j:= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
> k:= [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }.[/mm]
> a)Zeigen sie,dass Q eine
> Untergruppe von [mm]GL_{2}(C)[/mm] ist.
> b)Beweisen sie,dass [mm]\IZ/8 \IZ,\IZ/4 \IZ[/mm] x [mm]\IZ/2 \IZ,\IZ/2 \IZ[/mm]
> x [mm]\IZ/2 \IZ[/mm] x [mm]\IZ/2 \IZ,D_{4},Q[/mm] (mit der Diedergruppe
> [mm]D_{4})[/mm] paarweise nicht isomorph sind.
>
> Hallo,
>
> ZU der a):Die habe ich glaube ich richtig.Also um zu prüfen
> ob ob es eine Untergruppe ist,habe ich alle Elemente aus Q
> miteinander multipliziert und festgestellt dass diese
> Ergebnisse alle wieder in Q liegen.Ich habe dies in einer
> größeren Verknüpfungstabelle dargestellt.Außerdem habe ich
> die Inversen von den einzelnen Elementen ausgerechnet,die
> wieder in Q liegen.Das müsste doch reichen oder?oder gehts
> auch kürzer?
Kennst Du schon das Untergruppenkriterium? Dann würde es reichen, wenn Du Gleichungen zwischen den Produkten [mm] I [mm] \dot [/mm] J, [mm] \quad [/mm] I [mm] \dot [/mm] K, [mm] \ldots, [/mm] K [mm] \dot [/mm] I/mm] findest, weil ja alle Elemente aus Q Produkte von Potenzen der Elemente I, J, K sind.
Vielleicht wird's an einem andern Beispiel deutlicher, was ich meine: Man kann die Kleinsche Vierergruppe durch zwei Elemente a,b "beschreiben": [mm] a^2 =1, b^2 =1, a*b =b*a[/mm]
> Aber nun zu der b):hier verstehe ich schonmal die
> Fragestellung nicht ganz.Mit paarweise isomorph
> zueinander,meinen die damit isomorph zu sich selbst,also
> bsp.weise:prüfe: [mm]\IZ/8 \IZ \cong \IZ/8 \IZ,....,wenn[/mm] ja wie
> stelle ich dies an?ich habe irgendwie keine vernünftige
> idee.
Nein, ich denke, es geht darum, zu zeigen: [mm] [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \times \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \times \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ/mm] [/mm] und Q sind nicht isomorph; [mm] D_4[/mm] und Q sind nicht isomorph usw. Hier ein paar Ideen: Bei einem Gruppenisomorphismus müssen die Ordnungen der Elemente in der abgebildeten Gruppe und in der "Bildgruppe" übereinstimmen. Wenn zwei Elemente in der "Ausgangsgruppe" vertauschbar sind, sind sie's auch in der "Bildgruppe". Insbesondere muß also die "Bildgruppe" einer kommutativen Gruppe wieder kommutativ sein. Mit Ausnahme von [mm] D_4[/mm] sind die zu prüfenden Gruppen kommutativ.
Hoffe das hilft
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
die gruppe $Q$ ist auch nicht kommutativ, da etwa $ij = - ji [mm] \not= [/mm] ji$. ansonsten sollten sich mit den gegebenen hinweisen sehr viele isomorpien ausschließen lassen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 03.05.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo!
Danke für eure Hilfen,haben mir sehr geholfen.Kann man dann einfach so argumentieren? : Da [mm] \IZ/8\IZ [/mm] ordnung 8 und Q auch Ordnung 8 hat,sind diese nicht teilerfremd und daher sind die Abbildungen nicht isomorph da diese Eigenschaften äquivalent sind.Reicht das als Begründung?Bei der mit [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] weiß ich nicht genau,wie ich hier diese Äquivalenz benutzen könnte.
Bei [mm] D_{4} [/mm] und Q weiß man also dass beide nicht kommutativ sind und die Ordnung von [mm] D_{4} [/mm] ist doch 8 oder?und dann könnte man ja wieder genauso argumentieren wie bei der ersten oder?Aber irgendwie versteh ich dann nicht wofür man die kommutativität braucht.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hi
schlage nochmal die benötigten begriffe nach.
wenn zwei endliche gruppen isomorph sind, so müssen sie gleich viele elemente haben, du kannst also auf keinen fall so argumentieren, wie du das angedacht hast.
die von zahlenspieler vorgeschlagene idee war folgende:
angenommen ${}^{\displaystyle \mathbb{Z}}/{}_{\displaystyle{8 \mathbb{Z}}$ und $Q$ wären isomrph, so gäbe es einen isomorphismus $\phi: {}^{\displaystyle \mathbb{Z}}/{}_{\displaystyle{8 \mathbb{Z}} \longrightarrow Q$ und für jedes element $a \in {}^{\displaystyle \mathbb{Z}}/{}_{\displaystyle{8 \mathbb{Z}}$ stimmen die ![[]](/images/popup.gif) ordnungEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
von $a$ und $\phi(a)$ überein. welche ordnungen haben die elemente von ${}^{\displaystyle \mathbb{Z}}/{}_{\displaystyle{8 \mathbb{Z}}$, welche ordnungen haben die elemente von $Q$?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 03.05.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo,
Danke für die Korrektur.Ich kam dadrauf durch diesen Satz:Es gilt [mm] \IZ/m\IZ [/mm] x [mm] \IZ/n\IZ \cong \gdw [/mm] m,n teilerfremd.
So da anscheinend [mm] \IZ/8\IZ [/mm] doch nicht einfach nur die Ordnung 8 hat,habe ich ein bisschen gegooglet und bin auf die eulersche phi -funktion gestoßen,die besagt dass phi(8)=4 ist,=ordnung von [mm] \IZ/8\IZ [/mm] ??Aber du hast ja nach der Ordnung der Elemente aus [mm] \IZ/8\IZ [/mm] gefragt,meinst du damit die restklassen der Gruppe für die [mm] [restklasse]^n=1 [/mm] gilt???und dann habe ich gelesen, dass die Ordnung von Q =8 ist,was ich irgendwie nicht richtig verstehe.da doch zb. für [mm] i^4=1,j^4=1 [/mm] schon gilt.wie kommt man auf 8?Irgendwie versteh ich das noch nicht richtig.
Viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich kam dadrauf durch diesen Satz:Es gilt $ [mm] \IZ/m\IZ [/mm] $ x $ [mm] \IZ/n\IZ \cong \gdw [/mm] $ m,n teilerfremd.
hier fehlt scheinbar ein teil (hinter dem isomorphiezeichen). damit kannst du aber tatsächlich die isomorphie etwa zwischen [mm] $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] untersuchen (in deiner zweiten frage hast du hier die gruppe $Q$ ins spiel gebracht, diese hat aber gar nicht die in dem satz genannte form).
[mm] $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ [/mm] hat tatsächlich die ordnung $8$, es besteht ja gerade aus den $8$ restklassen $0 + [mm] 8\mathbb{Z}, [/mm] 1 + [mm] 8\mathbb{Z}, [/mm] ..., 7 + [mm] 8\mathbb{Z}$, [/mm] wobei die verknüpfung die addition ist. das resultat, das du beim googeln gefunden hast, bezieht sich auf die multiplikative gruppe [mm] $\left( \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \right)^\times$ [/mm] - die hat hiermit nichts zu tuen.
beachte, da die verknüpfung die addition ist, ist die ordnung eines elements $a + [mm] 8\mathbb{Z} \in \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ [/mm] gerade die kleinste natürliche zahl $m$ mit $m(a + [mm] 8\mathbb{Z}) [/mm] = 0 + [mm] 8\mathbb{Z}$ [/mm] (das letztgenannte ist ja gerade das neutrale elemen)t. was erhälst du nun für ordnungen der elemnte?
wieviele elemente hat denn $Q$ bei dir (das ist die ordnung der gruppe - zu unterscheiden von der ordnung eines gruppenelements!) nur vier werden es ja nicht sein...
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 03.05.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo
ja also für [mm] \IZ/8\IZ [/mm] wär das ja dann [7]+[1]=[6]+[2]=[5]+[3]=[4]+[4]=[3]+[5]=[2]+[6]=[1]+[7]=[0]+[0]=[0],also hat das die ordnung 2 oder nicht???
und dann habe ich gelesen, dass die Ordnung von Q =8 ist,was ich irgendwie nicht richtig verstehe.da doch zb. für [mm] i^4=1,j^4=1 [/mm] schon gilt.wie kommt man auf 8?Irgendwie versteh ich das nicht.und für die einzelnen Elemete von Q(was ja hier die eigentliche frage ist) ,ist die Ordnung vielleicht 4 mit der gleichen begründung von oben?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mo 04.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> ja also für [mm]\IZ/8\IZ[/mm] wär das ja dann
> [7]+[1]=[6]+[2]=[5]+[3]=[4]+[4]=[3]+[5]=[2]+[6]=[1]+[7]=[0]+[0]=[0],also
> hat das die ordnung 2 oder nicht???
nein. du sollst ein element immer mit sich selber verknüpfen (= zu sich selber addieren) und nicht mit einem anderen element der gruppe. obige rechnung zeigt aber ($[4] + [4] = [0]$), dass das element $[4]$ die ordnung $2$ hat. $[0]$ hat offenbar die ordnung $1$.
weiter ist etwa $[2] [mm] \not= [/mm] 0$, $[2] + [2] = [4] [mm] \not= [/mm] [0]$, $[2] + [2] + [2] = [6] [mm] \not= [/mm] [0]$, aber $[2] + [2] + [2] + [2] = [8] = [0]$, also muss man $[2]$ mindestens viermal miteinander verknüpfen, damit man das neutrale element erhält, folglich ist die ordnung von $[2]$ gerade $4$.
> und dann habe ich gelesen, dass die Ordnung von Q =8
> ist,was ich irgendwie nicht richtig verstehe.da doch zb.
> für [mm]i^4=1,j^4=1[/mm] schon gilt.wie kommt man auf 8?
du hast doch im ersten aufgabenteil alle elemente von $Q$ bestimmt. wieviele waren das denn?
> .und für die einzelnen Elemete von
> Q(was ja hier die eigentliche frage ist) ,ist die Ordnung
> vielleicht 4 mit der gleichen begründung von oben?
hier ist die verknüpfung die multiplikation, also muss man - etwa um die ordnung von $i$ zu bestimmen die kleinste natürliche zahl $m$ bestimmen, so dass [mm] $i^m [/mm] = 1$, also der einheitsmatrix, ist. für $m = 4$ ist das erfüllt, wie sieht es für kleiner $m$ aus?
grüße
andreas
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