Qudrat. bzw. Betragsgleichunge < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende quadratische Gleichung unter dem Aspekt der Betragsleichungen betrachten:
[mm]x\in\IR[/mm] -Unbekannte-
[mm]p,q\in\IR[/mm] -Konste(n)-
[mm]a*x²+b*x+c=0[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]a*[x²+\left \bruch{b}{a} \right+\left \bruch{c}{a} \right]=0[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x²+p*x+q=0[/mm]
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Hallo Leute und einen schönen guten Morgen allerseits!!!
Erstmal eine ganz unmathematihsche Frage vorweg: Hat jemand von euch schon eine oder mehrere Abiturprüfungen geschrieben?
So jetzt aber zu der Frage:
[mm]x²+p*x+q=0[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x²+p*x+\left( \bruch{p}{2} \right)^2+q-\left( \bruch{p}{2} \right)²=0[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm](x+\left \bruch{p}{2} \right)^2-\left( \bruch{p}{2} \right)²+q=0[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm](x+\left \bruch{p}{2} \right)^2=\left( \bruch{p}{2} \right)²-q[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]\left|x+\left \bruch{p}{2} \right\right|=\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}[/mm]
So und nun kommt der eientliche Knackpunkt: Man muss nun, um die Betragsstriche verschwinden zu lassen, zwei Fälle unterscheiden:
1.Fall
[mm]x+\left \bruch{p}{2} \right\ge0[/mm]
Diser Fall gilt für:
[mm]x\ge-\left \bruch{p}{2} \right[/mm]
Mann kann bei diesem Fall also die Betgragsriche gleich weglassen; es ergibt sich:
[mm]x+\left \bruch{p}{2} \right=\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}[/mm] 1.Gleichung
2.Fall
[mm]x+\left \bruch{p}{2} \right<0[/mm]
Dieser Fall gilt für:
[mm]x<-\left \bruch{p}{2} \right[/mm]
In diesem Fall muss man, um die Betragstriche wegzulassen den Audruck zuerst mit einer Multiplikation mit [mm](-1)[/mm] positiv machen; es ergibt sich:
[mm]-\left(x+\left \bruch{p}{2} \right\right)=\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x+\left \bruch{p}{2} \right=-\left(\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}\right)[/mm] 2.Gleichung
Durch "Zusammenlegen" von der 1.Gleichung und der 2.Gleichung ergibt sich wie erwartet:
[mm]x+\left \bruch{p}{2} \right=\pm\left(\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}\right)[/mm]
... woraus ja sofort die albekannte p-q Formel folgt:
[mm]x=\left -\bruch{p}{2} \right\pm\left(\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}\right)[/mm]
... wobei aufgrund der Potenzrechnung die Klammer natürlich hätte erspart bleiben können;toller Satz !
[mm]x=\left -\bruch{p}{2} \right\pm\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}[/mm]
Ist diese Argumentation so richtig? Irgendwie kommt mir das noch leicht suspekt vor....
Schon mal ein großes DANKE für eure Antworten!!!
Mit den besten (Mittags-) Grüßen
Goldener Schnitt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Do 20.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi goldener_Schnitt,
du hast zwar einmal ne Wurzel vergessen hinzuschreiben:
[mm] x+\left \bruch{p}{2} \right=\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q}
[/mm]
bei deiner [mm] \red{1.} [/mm] Gleichung, aber ansonsten ist das genau die Herleitung der p,q-Formel. Ist alles in Butter
Was dir wahrscheinlich suspekt vorkommt, ist das "Zusammenlegen", das kannst du so (ausführlicher) schreiben:
Du hast im Fall 1:
[mm] x\ge-\bruch{p}{2} [/mm] und
[mm] x=-\bruch{p}{2}+\wurzel{...}
[/mm]
Da aber ja [mm] -\bruch{p}{2}+\wurzel{...}\ge-\bruch{p}{2}, [/mm] ist die Bedingung [mm] x\ge-\bruch{p}{2} [/mm] automatisch erfüllt und kann weggelasen werden.
2. Fall: (ganz analog)
[mm] x<-\bruch{p}{2} [/mm] und
[mm] x=-\bruch{p}{2}-\wurzel{...}<-\bruch{p}{2} [/mm] ,
also kann [mm] x<-\bruch{p}{2} [/mm] auch weggelassen werden. Ingesamt hast du als Lösungsmenge (ganz ausführlich):
[mm] \IL=\{x\in\IR | x=-\bruch{p}{2}+\wurzel{...} \text{ oder } x=-\bruch{p}{2}-\wurzel{...} \}
[/mm]
L G walde
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| Aufgabe | | (entspricht der 1. Aufgabenstellung!) |
Hallo Walde!!!
Und DANKE für deine schnelle und nette Antwort!
Du hast schon recht, bei diesen Bedingungen wird es ein bisschen unübersichtlicht.
Für den 1. Fall gebe ich dir uneingeschrenkt recht, die Bedingung kann weggelassen werden.
Aber bei der zweiten! Die Diskriminate und damit der ganze Wurzelausdruck kann doch [mm]0[/mm] werden, sollte gelten:
[mm]\left( \bruch{p}{2} \right)²=q[/mm]
Ahhhh, das jedoch ginge nur für [mm]q\ge0[/mm]. Und wenn das gilt, dann gilt sowiso:
[mm]x=-\bruch{p}{2}-\wurzel{...}<-\bruch{p}{2}[/mm]
hmmmm.. und was ist für den Fall
[mm]q=p=0[/mm]????
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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| Aufgabe | | (entspricht der 1. Aufgabenstellung!) |
Hallo Walde!!!
Und DANKE für deine schnelle und nette Antwort!
Du hast schon recht, bei diesen Bedingungen wird es ein bisschen unübersichtlicht.
Für den 1. Fall gebe ich dir uneingeschrenkt recht, die Bedingung kann weggelassen werden.
Aber bei der zweiten! Die Diskriminate und damit der ganze Wurzelausdruck kann doch $ 0 $ werden, sollte gelten:
$ [mm] \left( \bruch{p}{2} \right)²=q [/mm] $
Ahhhh, das jedoch ginge nur für $ [mm] q\ge0 [/mm] $. Und wenn das gilt, dann gilt sowiso:
$ [mm] x=-\bruch{p}{2}-\wurzel{...}<-\bruch{p}{2} [/mm] $
hmmmm.. und was ist für den Fall
$ q=p=0 $????
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 20.04.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Goldener_Sch.,
mit p=0 ist auch [mm] -\bruch{p}{2}=-\bruch{0}{2}=0 [/mm] und somit [mm] x_{1,2}=0
[/mm]
also eine Parabel mit doppelter Nullstelle im Ursprung.
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Do 20.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi nochmal,
gern geschehen.
Im Falle p=q=0 steht im 2.Fall natürlich als Eingangsbedingung x<0 und als Lösung x=0. Das ist erstmal kein Problem, weil das einfach heisst, das es in diesem 2.Fall zum Widerspruch kommt, es insgesamt also nur eine Lösung gibt (nämlich Fall 1).
Wenn man x<0 einfach weglässt (obwohl man das streng genommen ja nicht darf) kommt man aber insgesamt nicht auf "mehr" Lösungen. Das fertige Endergebnis liefert ja auch "x=0 oder x=0" als Lösungen. Es entstehen also keine Probleme (in Form von zusätzlichen Lösungen, die aber die Ursprungsgleichung gar nicht lösen) hier, würde ich sagen.
Konnte ich dein Bedenken ausräumen?
Falls dir p=q=0 immer noch aufstösst, könnte man diesen Fall acuh gesondert behandeln, dann ist die Ausgangsgleichung [mm] x^2=0. [/mm] Da würde man die p,q-Formel auch nicht bemühen.
L G walde
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